空间向量的坐标运算

1．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．2．空间两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝，|AB|＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，B(3cosα，3sinα，1)，则||的取值范围是()A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25]解析：∵＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴||∈[1,5].答案：BA平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmnl设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；面面垂直垂直关系：例2已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴设平面的法向量是依题意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2∴平面的一个法向量是(1,2,4),(2,4,3)ABAC(,,)nxyz00nABnAC且2402430xyzxyz(2,1,0)n问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4((2,2,1),(4,5,3),ABACABC例2：已知求平面的单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n3||2n122(-333ABC求平面的单位法向量为，，）设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；六、夹角：例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)),0,1,0(11CB)0,1,1(),1,0,1(1ACAB设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001ACnABn,则故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为3331010111111,cosCBnCBnCBn如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1(所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为510020zxyx取x=1，则y=1，z=2；故)2,1,1(n（2）设平面SAB的法向量),,(zyxn显然有0,0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOSABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|||||||sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),,,(zyxn00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|||||||sin|nDAnDA在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB例二：题型二：线面角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,ADAD255与平面所成角的正弦值是ADANM255例2090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF30105.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.解析：如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1).设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量则∴取n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.∴cosθ＝.答案：【巩固练习】1三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.090BAC090BAC6631010如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[思路点拨][课堂笔记]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝(，0，)，(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则令y＝2，得n＝(－，2,1).∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2,1)，＝(－，2,1).∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB||2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOn1.若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种办法：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.lamb，的夹角为ml,||||||cosbabalambula，的夹角为,l||||||)2cos(uauaulasinauau5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为.解析：建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，，)则＝(0，，1)，＝(1,0，).∴cos〈〉＝＝＝.∴直线AM与CN所成角的余弦值为.答案：(2009·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1.(1)证明：AB＝AC；(2)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小.[思路点拨][课堂笔记](1)证明：以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴.建立如图所示的直角坐标系A－xyz.设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)，E(，，c).于是＝(，，0)，＝(－1，b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，·＝0，求得b＝1，所以AB＝AC.(2)设平面BCD的法向量＝(x，y，z)，则·＝0，·＝0.又＝(－1,1,0)，＝(－1,0，c)，故令x＝1，则y＝1，z＝，＝(1,1，).又平面ABD的法向量＝(0,1,0).由二面角A－BD－C为60°知，〈〉＝60°，