陶平生广州函数例讲解答

1函数例讲解答陶平生基本内容与方法：定义域与值域；奇偶性、单调性与周期性；最值与极值；函数方程；变形配凑法，数形结合法，三角代换法，影射对应法，调整法．1、求函数2222229931294fxxxxx的最小值．解：由于22222213343334xxfxxx…①令23xy，此为抛物线方程，其焦点为30,4F，准线方程为34y，记点3,4A，则①可以改写为2222133434fxxyxy，它表示为抛物线上的点,Mxy到点A与到焦点F的距离之和：13fMAMF，注意点A在抛物线的上方，由于点M到焦点的距离等于其到准线的距离：MFMH，故当点M移至1M使在垂线1AH上时，MAMH的值最小，为111319444AMMHAH，即11934f，所以574f．2、若实数,xy满足2225xy，求函数(,)86508650fxyyxyx的最大值．解：将根式中的50进行适当转换：2222502525()34xy（），于是222(,)(3)(4)(3)(4)fxyxyxy2，这样，函数(,)fxy的值就可看成是圆2225xy上的动点(,)Pxy到圆上的两个定点(3,4),(3,4)AB的距离之和，易知，当2PAPBa，（a为定值）时，点P的轨迹是一个以,AB为焦点，a为半长轴的椭圆，当点P位于AB的中垂线与圆周最远交点(0,5)C时，a值为最大，其值为YXHH1OAFMM1yxCPBA222222(0,5)(03)(54)(03)(54)239610f2．3、求函数22()10968256fxxxxx的最大值．解：()(1)(9)(4)(64)fxxxxx，则定义域为49x．为了从两个根式中移出相同的常数，注意(1)(64)63xx，即2216416363xx，令1cos63x，64sin63x，为锐角，又由(4)(9)5xx，即2249155xx，令4sin5x，9cos5x，为锐角；所以163cos,95cosxx，6463sin,x45sinx，于是，()335coscossinsin335cos()335fx，当时等号成立，此时19coscos635xx，于是19(1)(9)635635xxxx826817，126117x，12614311717x，而1434,917；即当14317x，()fx取得最大值335．解二：利用()()abcdacbd，（因为2()abcdabcdabcdadbc，即2()()()abcdacbd，两边开方便得上式，其中取等号当且仅当adbc）；因此()(1)(9)(64)(4)fxxxxx(164)(94)xxxx635335，其中取等号当且仅当(1)(4)(9)(64)xxxx，即14317x．4、设,0,1xy，求函数(,)11fxyxyyx的最大值．解一：设1,1xayb，,0,1ab，则221,1xayb，22(,)(1)(1)()(1)fxyabbaabab3()1(1)(1)()(2)1ababababab，取等号当且仅当1,(1)(1)0abab，即,0,1ab，也即,0,1xy．解二：由于,0,1xy，则,xxyy，令22sin,sinxy，,02，，于是(,)11(1)(1)fxyxyyxxyyxsincoscossinsin()1，取等号当且仅当2，并且,xxyy，此时,0,1xy．5、求函数22()4210fxxxx的最小值．解一：由2222()2(1)3fxxx可看作由点(,0)Px到点(0,2)A及到点(1,3)B的距离之和：fPAPB，作点A关于X轴的对称点1(0,2)A，易知1AB的方程为520xy，其与X轴的交点为02,05P，注意1101000PAPBPAPBABPAPBPAPB而221(10)(32)26AB，即()26fx．（当25x时取得此最小值）．注：也可把2222()2(1)3fxxx直接看作由点(,0)Px到点1(0,2)A及到点(1,3)B的距离之和：1fPAPB，这样更为简单．而之所以按以上方法处理，是为了推出一般情形下的处理途径．解二：若记224,210xaxxb，则2,3ab，且1()22abfx，注意,,2abab成等差数列，即1,(),2afxb成等差数列，设d为公差，因此可令214()2xfxd……①，21210()2xxfxd……②而22()42105fxxxxab……③②式平方减①式平方得()3xdfx……④，将④代入①式左端，平方整理，并看作关P(x,0)(-1,3)(0,-2)（0,2）YXP0A1BA4于d的二次方程，得2224(1)20(52)0fdfdf……⑤因d为实数，则⑤的判别式非负，即222(20)44(1)(52)0fff……⑥，解得226f，或22f（此式与矛盾，当舍去．）所以()26fx．（当()26fx时，由⑤得2610d，再由①或②得，25x．）6、求函数242()181652fxxxxx的最小值．解：改写条件式为222222()(20)(1)(24)(6)fxxxxx，即2222221111()2302222fxxxxx，令212xy，即22xy，这是一条抛物线，其焦点为1(0,)2F，准线方程是12y；而222211()23022fxxyxy表示抛物线上的点(,)Pxy到定点(2,3)A与到焦点1(0,)2F的距离之和PAPF，设点P在准线上的射影为H，那么PAPFPAPH，易知，当,,APH共线时，其和最小，为17322，此值当2x时取到，从而，7()272fx，（当2x时取等号）．7、设k为正整数，如果**:fNN为严格递增函数，且对每个*nN，都有：(())ffnkn，求证：对每个*nN，都有：21()12kknfnnk．证明：据()fn的严格递增性，对每个正整数n，有(1)()1fnfn，于是当mn时，()()(()(1))((1)(2))((1)())fmfnfmfmfmfmfnfnmn，即()()()fmfnmn……①，易m为()fn得(())()(())2()ffnfnfnnfnn，即2()knfnn，所以1()2kfnn……②；再于②中易n为()fn，得1(())()2kffnfn，即1()2kknfn，5所以2()1kfnnk……③；据此得21()12kknfnnk．8、设:fRR，满足：对任何,xyR，都有：()()(23)3()3()6fxfyfxyfxyfxx．求()fx的表达式．解：互换,xy得()()(23)3()3()6fxfyfxyfxyfyy，与条件式相减得3()63()6fxxfyy，由于,xy的任意性知，()2fxx常数，设()2fxxc，即()2fxxc，代入条件式得(2)(2)2(23)32()3(2)6xcycxycxycxcx，化简即22()(3)6xyccc，此式对任意实数,xy皆成立，必需30c，所以()23fxx．经验证知，它满足题中条件．9、设2()21xfxx，令11()(),()()kkfxfxfxffx，求10()fx的表达式．解：22221()(1)111xfxxxx，则22111111,11()()fxxfxx，易x为()kfx，得211111()()kkfxfx，（定义0()xfx），所以，210102222109801111111111ffffx，从而，1010101021022211111xfxxx．10、f是一个定义在平面上的实值函数，使得对于平面上的任一个正方形ABCD，均有()()()()0fAfBfCfD．问是否对于平面上的任一点P，都有()0fP？6解：答案是肯定的．证明如下：对任意一点P，考虑以P为中心的正方形ABCD，若其边,,,ABBCCDDA的中点分别为,,,EFGH，那么据条件将有()()()()0fAfBfCfD…①；()()()()0fEfFfGfH…②；()()()()0fAfEfPfH…③；()()()()0fBfFfPfE…④；()()()()0fCfGfPfF…⑤；()()()()0fDfHfPfG…⑥．③+④+⑤+⑥-①-2②得，4()0fP，即有()0fP．11、设555,,111fxyzxyz，求最大的实数，使得对于任何满足4xyz的正数,,xyz，都有,,fxyz．解：一般地，我们可证明，对于函数111,,111nnnfxyzxyz，其中正整数2n，有125n．为此，记1111,1,1nnnaxbycz，则11115,15,15nnnabc，且,,fxyzabc注意1211211115551nnnnnnnnxaaaaaa所以，15151141nxaa，同理有15141nyb15141nzc，相加得，15143nxyzabc43fxyz，即14514,,3nfxyz，所以1,,25nfxyz另外当,42xyz，且使0时，,,fxyz的值无限接近125n，故数值125n不能再改进．12、设正数,,,,,abcxyz满足;;cybzaazcxbbxayc，求函数222(,,)111xyzfxyzxyz的最小值．7解：由条件得，()()()0bazcxbcbxaycacybza，即22220,bcxabc所以2222bcaxbc；同理得，222222,22acbabcyzacab．因为,,,,,abcxyz为正数，据以上三式知，222222222,,,bcaacbabc故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，故cos,cos,cosxAyBzC，问题转化为：在锐角ABC中，求函数222coscoscos(cos,cos,cos)1cos1cos1cosABCfABCABC的最小值．令cot,