2020年全国2卷-理科数学真题(pdf版含解析)

-1-2020年全国2卷理科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则）（BACU（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A【详解】由题意可得：1,0,1,2AB，则U2,3ABð.故选：A.考点：集合的运算2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α0B.cos2α0C.sin2α0D.sin2α0【答案】D【详解】当6时，cos2cos03，选项B错误；当3时，2cos2cos03，选项A错误；由在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sincos0，选项C错误，选项D正确；故选：D.考点：三角函数的正负性3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900，故需要志愿者9001850名.故选：B考点：统计与概率4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）-2-A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【详解】设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann，设nS为{}na的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,nnnnnSSSSS，因为下层比中层多729块，所以322729nnnnSSSS，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222nnnnnnnn即29729n，解得9n，所以32727(9927)34022nSS.故选：C考点：等差数列5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B【详解】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为222xayaa.由题意可得22221aaa，可得2650aa，解得1a或5a，所以圆心的坐标为1,1或5,5，圆心到直线230xy的距离均为22555d；所以，圆心到直线230xy的距离为255.故选：B.考点：直线与圆-3-6.数列{}na中，12a，mnmnaaa，若155121022kkkaaa，则k（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【详解】在等式mnmnaaa中，令1m，可得112nnnaaaa，12nnaa，所以，数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222nnna，1011011105101210122122212211212kkkkkkaaaa，1522k，则15k，解得4k.故选：C.考点：数列的运算7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E故选：A考点：三视图-4-8.设O为坐标原点，直线xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于,DE两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B【详解】2222:1(0,0)xyCabab双曲线的渐近线方程是byxa直线xa与双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立xabyxa，解得xayb故(,)Dab联立xabyxa，解得xayb故(,)Eab||2EDbODE面积为：1282ODESabab△双曲线2222:1(0,0)xyCabab其焦距为2222222168cabab当且仅当22ab取等号C的焦距的最小值：8故选：B.考点：双曲线9.设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（）A.是偶函数，且在1(,)2单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D【详解】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，fx为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x时，ln21ln12fxxx，ln21yxQ在11,22上单调递增，ln12yx在11,22上单调递减，-5-fx在11,22上单调递增，排除B；当1,2x时，212ln21ln12lnln12121xfxxxxx，2121x在1,2上单调递减，lnf在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：fx在1,2上单调递减，D正确.故选：D.考点：函数的奇偶性与单调性10.已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【详解】设球O的半径为R，则2416R，解得：2R.设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a，解得：3a，22229933434ara，球心O到平面ABC的距离22431dRr.故选：C.考点：外接球11.若2233xyxy，则（）A.ln(1)0yxB.ln(1)0yxC.ln||0xyD.ln||0xy【答案】A【详解】由2233xyxy得：2323xxyy，令23ttft，2xy为R上的增函数，3xy为R上的减函数，ft为R上的增函数，xy，，11yx，ln10yx，则A正确，B错误；与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.考点：构造函数，单调性12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai，且存在正整数m，-6-使得(1,2,)imiaai成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)imiaai的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk的序列是（）A11010B.11011C.10001D.11001【答案】C【详解】由imiaa知，序列ia的周期为m，由已知，5m，511(),1,2,3,45iikiCkaak对于选项A，511223344556111111(1)()(10000)55555iiiCaaaaaaaaaaaa52132435465711112(2)()(01010)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项B，51122334455611113(1)()(10011)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项D，51122334455611112(1)()(10001)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；故选：C考点：周期性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.【答案】22【详解】由题意可得：211cos452ab，由题得：0kaba，即：2202kaabk，解得：22k.故答案为：22．考点：平面向量的运算14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C-7-现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种故答案为：36.考点：排列组合15.设复数1z，2z满足12||=||=2zz，123izz，则12||zz=__________.【答案】23【详解】122zz，可设12cos2sinzi，22cos2sinzi，122coscos2sinsin3zzii，2coscos32sinsin1，两式平方作和得：422coscos2sinsin4，化简得：1coscossinsin2122coscos2sinsinzzi224coscos4sinsin88coscossinsin8423故答案为：23.考点：复数的运算16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14pp②12pp③23pp④34pp【答案】①③④【详解】对于命题1p，可设1l与2l相交，这两条直线确定的平面为；若3l与1l相交，则交点A在平面内，同理，3l与2l的交点B也在平面内，所以，AB，即3l，命题1p为真命题；对于命题2p，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p为假命题；-8-对于命题3p，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p为假命题；对于命题4p，若直线m平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l平面，直线m直线l，命题4p为真命题.综上可知，14pp