汽车公司的生产计划与决策

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：福建师范大学福清分校参赛队员(打印并签名)：1.唐权2.刘晓扬3.张伟春指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈泗盛日期：2013年1月4日汽车公司的生产计划与决策摘要目前，汽车公司打算生产一些新型的汽车，由于以利润最大化为目标，所以汽车公司在生产计划与决策上需要得到一个最优的方案，本题主要是研究最优化为问题，从而得到一个双赢的策略，既满足人们的需求，也得到了利润最大。本题是一个规划问题，需要在几种车型中选择适合生产的配置方案。题目给我们提供了各种车型的生产成本、售价，以及工时和预计销售量等约束条件，让我们以获得最大利润为目的来分配利用资源。在此可以建立线性规划模型结合0-1规划、整数规划、多目标来解决问题，利用MAILAB计算求得结果。关键词：生产计划和决策线性规划整数规划优化模型一、问题重述某汽车公司拟生产一批新款式的轿车，初步确定有以下几种配置方案可供选择（括号内为成本价）：发动机E2.0L（e1=2.1万元），1.8L（e2=1.7万元），1.6L（e3=1.5万元）换挡D手动（d1=1.3万元）自动（d2=2.2万元）天窗W无天窗（w1=0万元）手动天窗（w2=0.5万元），电动天窗（w3=0.8万元）整车的其他成本是C0=8万元。（1）各种车型的预计售价和市场需求量如表1，试确定每一种车型的生产成本和预计销售利润。（2）如果该汽车公司有10条生产线，每条生产线每天工作8小时，试问应该如何安排生产计划可使每月（按30天计算）所获利润最大？（3）公司市场情报部门预测到未来一段时期各种车型的市场需求量会增加一倍，故考虑将生产线由原来的10条增加到15条，此外，考虑到同时生产两种或两种以上配置的轿车的成本较高，公司决定只选择一种配置车型进行生产，同时将生产线由10条增加到15条，此时应该如何安排生产计划可使每月（按30天计算）所获利润最大？（4）由于问题（3）中的市场需求是一个预测值，随着市场行情的变化，实际需求量与该值可能有一定的误差。因此按预测数据做出的生产计划可能有一定的风险因素。进一步考虑预期市场的销售量是按一定的概率分布来实现的，具体的概率分布如表2所示。在这种情况下，如果公司有15生产线，并且只考虑生产一种型号的轿车，那么按照最大期望效益的准则应该如何安排每月的生产计划是的获利最大？二、问题分析针对问题1，可以根据表1和题目中给出的条件，分析每一种车型的生产成本，并用一个简单的线性模型求出，在根据得出生产成本和已知的预计售价，确定预计销售利润；针对问题2，要得出每月所获利润最大，可对生产计划进行分析，得出相应的模型。这是一个线性整数规划问题，可以设iX为生产第i种车型的辆数，列出一个求最值的线性规划模型，再对其进行取整，使用LINGO软件进行求解，从而得到利润最大；针对问题3，由于它的市场需求量增加一倍，生产线由10条增加到15条，可以利用问题二的模型，改变相应的条件，然后我们再引进0-1变量iY，iY表示是否生产第i种车型的车，取0表示不生产，取1表示生产，来约束只选择一种配置车型进行生产，实现利润最大；针对问题4，可以先根据表二，利用离散型期望公式，计算出最大期望效益的市场需求预测值，再利用0-1变量建立线性整数规划模型，得出按照最大期望效益的准则条件下的最大利润；针对问题5，只是在问题4的基础上把条件做改变，就可得到生产车型由一种变为两种时的利润。综合来看本题的所有问题，该题就是一个很普通的线性规划取整问题并结合了0-1变量，而它的复杂之处在于它的约束条件不停地变化，要不断地改变来满足条件。三、模型假设1、市场的最终需求是确定的；2、市场需求量波动是连续的且服从正态分布；3、工人和生产线在生产期间是正常的没出现什么特殊情况；4、原材料生产量的波动是连续的；5、商品生产量波动是连续的。四、符号说明lA随机变量（l=270,280,290,300）0C固定成本iC成本的种类（i=1,2…，18）jD换挡的种类（j=1,2,3）kE发动机的种类（k=1,2,3）ih一种车型需要的工时（i=1,2…，18）iH一月的总工时(i=1,2)ip期望准则下发生的概率iP预计售价种类（i=1,2…，18）iq生产的车辆数（i=1,2…，18）iQ预计生产的车辆数（i=1,2…，18）iR预计销售利润（i=1,2…，18）mW天窗的种类（m=1,2,3）iX生产第i种车型的数量（i=1,2,……，18）iY是否生产第i种车型（取0表示不生产，取1表示生产）nZ目标利润（n=1,2,…，4）五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1各种车型的预计售价和市场需求量如表1，试确定每一种车型的生产成本和预计销售利润？5.1.2模型建立用iC（i=1,2，……，18）表示每种车型的生产成本，0C表示固定成本，kE表示发动机的种类（k=1,2,3），jD表示换挡的种类（j=1,2,3），mW表示天窗的种类（m=1,2,3）计算公式如下：0ijkmCCDEW；用iR（i=1,2，……，18）表示每种车型的预计销售利润，iP表示预计售价种类（i=1,2…，18），计算公式如下：iiiRPC；5.1.3模型求解用EXCEL计算求得每一种车型的生产成本和预计销售利润如下表序号型号生产成本预计利润（万元）（万元）1NH2011.42.62NA2012.32.93HH2011.92.84HA2012.83.15EH2012.22.86EA2013.13.17NH18112.58NA1811.92.89HH1811.52.710HA1812.4311EH1811.82.712EA1812.7313NH1610.82.614NA1611.72.515HH1611.32.616HA1612.22.817EH1611.62.718EA1612.52.85.2问题二5.2.1如果该汽车公司有10条生产线，每条生产线每天工作8小时，试问应该如何安排生产计划可使每月（按30天计算）所获利润最大？5.2.2模型建立用iX表示第i种车型的生产量（i=1,2，……，18），nZ表示目标利润（n=1,2,…，4），由上述分析得到利润最大的规划模型，则计算公式：1811maxiiizRXiH(i=1,2)表示每月的总工时，计算出110830H=2400a)ih表示每种车型需要的工时（i=1,2…，18），工时的满足条件为：1811iiihXHb)iQ表示预计生产的车辆数（i=1,2…，18），iq表示生产的车辆数（i=1,2…，18）,每一种车型的市场需求量的满足条件为：,0iiiqQq综上，建立规划模型如下：1811maxiiizRXS.T.1811iiihXH,0iiiqQq5.2.3模型求解用LINGO求解，具体计算步骤见附录二，最后得到生产第13种车型150辆，第16种车型105辆，最大利润为684万元。5.3问题三5.3.1在市场需求量增加一倍，只选择一种配置车型进行生产，同时将生产线由10条增加到15条的情况下所能获得的最大利润？5.3.2模型建立iY表示是否生产第i种车型（取0表示不生产，取1表示生产），由上述分析得到利润最大的规划模型，则计算公式：1821maxiiiizRXY2H表示每月的总工时，计算出215830H=3600a)工时的满足条件为：1821iiihXHb)生产第i种车型满足的条件为：1811iiYc)增加一倍生产的车辆数满足的条件为：2,0iiiqQq综上，建立规划模型如下：1821maxiiiizRXYS.T.1821iiihXH1811iiY2,0iiiqQq5.3.3模型求解用LINGO求解，具体步骤见附录三，计算得到只生产第4种车型300辆，得到最大利润为930万元5.4问题四5.4.1在市场需求的预测值的具体概率分布如表二所示的情况下如何安排每月的生产计划得获利最大？5.4．2模型建立lA表示随机变量（l=270,280,290,300,310）,ip期望准则下发生的概率。利用离散型期望公式，计算出最大期望效益的市场需求预测值，计算公式为：iliQAp，得到最大期望效益的市场需求的预测值如下表所示序号型号270280290300310期望销售量1NH200.10.150.250.350.152932NA200.10.150.50.150.12903HH200.20.350.250.10.1285.54HA200.350.250.10.30283.55EH200.150.10.250.40.12926EA200.50.250.150.10278.57NH180.10.450.150.20.1287.58NA180.250.450.10.10.1283.59HH180.050.20.450.3029010HA18000.10.40.530411EH180.20.450.250.10282.512EA180.20.650.1500279.513NH160.10.250.150.10.4294.514NA160.10.10.150.50.1529515HH160.20.150.150.20.3292.516HA160.10.250.350.10.2290.517EH1600.550.150.30287.518EA160.20.250.150.10.3290.5按照最大期望效益的准则每月的生产计划获利，由上述分析得到利润最大的规划模型，则计算公式：1831maxiiiizRXYa)工时的满足条件为：1821iiihXHb)生产第i种车型满足的条件为：1811iiYc)期望效益的市场需求的车辆数满足的条件为：,0iiiqQq综上，建立规划模型如下:1831maxiiiizRXYS.T.iliQAp1821iiihXH1811iiY,0iiiqQq5.4.3模型求解用LINGO计算，具体步骤见附录四，计算得到生产第10种车型304辆，得到最大利润为912万元5.5问题五5.5.1在问题四的条件下，如果生产两种型号的轿车，则应如何制定生产计划使得获利最大？5.5.2模型建立生产两种型号的轿车,由上述分析得到利润最大的规划模型，则计算公式：1841maxiiiizRXYa)工时的满足条件为：1821iiihXHb)生产第i种车型满足的条件为：1812iiYc)期望效益的市场需求的车辆数满足的条件为：,0iiiqQq综上，建立规划模型如下:1841maxiiiizRXYS.T.iiiQAp1821iiihXH1812iiY,0iiiqQq5.5.3模型求解利用LINGO计算,具体步骤见附录五，计算得到当生产第13种车型290辆，第16种车型99辆时，能得到最大收益1031万元六、模型评价每种车型的利润图为：利润图00.511.522.533.5123456789101112131415161718预计利润如果只根据利润图，人们会由自己的主观意识生产利润高的车型，从而选择第四和第六种车型，然而这样是不完善的，存在很大的问题，所以要建立规划模型来得到科学的答案。a)建立线性整数规划模型，使用0-1变量，此模型严格的控制了人们的主观性，使结果更加的精准，具有一定的说服力，模型相对简单，利于操作；该方法不仅适用于本题，也适用于其他方面的这类问题，有实际背景，可运用于实践，具有广泛适用性。b)由于结果是按照该公司的调查数据和预测数据进行求解的，故这是不完善的，若要得到准确的方案，需要做严格的数据调查和分析，才能真正的符合实际。c)现实生活中，我们不能草率的做出数据调查，也不能只依耐于数据，还要结合市场前景的发展状况，这样才能得到较理想的结果，也更加具有可行性。七、参考文献[1]赵静，但琦，数学建模与数学实验[3]