大学物理授课教案-第七章-稳恒电流的磁场解读

第七章稳恒电流的磁场风怡湘辛卯年§7-1磁场磁感应强度磁力线磁通量一、磁感应强度大小：qVFBmax，方向：沿VFmax方向（规定为沿磁场方向）。二、磁力线（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。（2）磁力线不能相交，因为各个场点B的方向唯一。三、磁通量定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用m表示。sdBdsmm――――――――――――――――――――――――――（7-1）磁通量单位：SI制中为Wb（韦伯）。对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故0m，即闭合曲面0sdBs――――――――――――――――――――――――――――（7-2）此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。§7-2毕奥——沙伐尔定律一、毕奥——沙伐尔定律304rrlIdBd（矢量式）―――――――――――――――――――――――（7-3）说明：（1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。（2）lId是矢量，方向沿电流流向。（3）在电流元延长线上0Bd。（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P点产生的B为304rrlIdBdBl―――――――――――――――――――――（7-4）二、磁场计算1、直载流导线设有一段直载流导线，电流强度为I，P点距导线为a，求P点B=？解：如图所示，在AB上距O点为l处取电流元lId，lId在P点产生的Bd的大小为20sin4rIdldB，Bd方向垂直指向纸面（rlId方向）。同样可知，AB上所有电流元在P点产生的Bd方向均相同，所以P点B的大小即等于下面的代数积分20sin4rIdldBBAB，统一变量，由图知sniaar)sin(，actgactgl)(dadadadl222sincsc)csc(2121sin4sinsinsin402220daIadaIB)cos(cos4210aI，B垂直指向纸面。讨论：（1）AB时，01，2，aIB20。（2）对无限长（A在O处），21，2，aIB40。强调：（1）210coscos4aIB要记住，做题时关键找出a、1、2。（2）1、2是电流方向与P点用A、B连线间夹角。2、薄金属板如图所示，一宽为a的薄金属板，其电流强度为I并均匀分布。试求在板平面内距板一边为b的P点的B。解：取P为原点，x轴过平板所在平面且与板边垂直，在x处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生Bd的方向为：垂直纸面向外，大小为xdxaIxdIdB2200（均匀分布）所有这样窄条在P点的Bd方向均相同，所以求B的大小可用下面代数积分进行：aabaIaxIdxdBBbabln2200。强调：（1）无限长载流导线产生磁场aIB20。（2）迭加方法要明确。3、载流圆线圈如图所示，半径为R的载流圆线圈，电流为I，求轴线上任一点P的磁感应强度B。解：取x轴为线圈轴线，O在线圈中心，电流元lId在P点产生的Bd大小为)2(4sin42020rIdlrIdldB设ld纸面，则Bd在纸面内。Bd分成平行x轴分量//Bd与垂直x轴分量Bd。在与lId在同一直径上的电流元'lId在P点产生的//'Bd、'Bd，由对称性可知，'Bd与Bd相抵消，可见，线圈在P点产生垂直x轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x轴分量。0B，23)(2244sin4cos4cos222030202020202020//RxIRRrIRrRrdlIrdlIrIdldBBBRRRB的方向沿x轴正向。讨论：（1）x=0处，20IB。（2）xR，3202IRB。（3）线圈左侧轴线上任一点B方向仍向右。强调：N匝线圈：2322202RxNIRB。4、载流螺线管的磁场已知导线中电流为I，螺线管单位长度上有n匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的B。解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P点为x处取长为dx，dx上含线圈为ndx。因为螺线管上线圈饶得很密，所以，dx段相当于一个圆电流，电流强度为Indx。因此宽为dx的圆线圈产生的Bd大小为：2323)(2)(222202220xRIndxRxRdIRdB。所有线圈在P点产生的Bd均向右，所以P点B为ABABRxdxInRRxdxInRdBB2121)(2)(222202220，dRdxRctgx2csc，)cos(cos2sin12csccsc2120220332202121IndRInRRdRInRB讨论：螺线管无限长时，1，02，constInB0。半无限长：如B在无穷远处，A轴线上的一点有21，02，nIB021。5、如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为1R、2R的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I。求（1）c圆心O处0B＝？(2)若小半圆绕AB转180，此时O处0'B＝？解：由磁场的迭加性知，任一点B是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O在直线段沿长线上，故直线段在O处不产生磁场。(1)小线圈在O处产生的磁场大小为：100221RIB小（每长度相等的圆弧在O处产生的磁场大小相同）；方向：垂直纸面向外。大线圈在O处产生的磁场大小为：200221RIB大；方向：垂直纸面向里。]11[4210000RRIBBB大小方向：垂直纸面向外。(2)0'B,可知大大小小0'00'0BBBB，小0'B、大0'B均垂直纸面向里。]11[421000'0RRIBBB’大‘小方向：垂直纸面向里。§7-3运动电荷的磁场运动电荷的磁场304rrVqB―――――――――――――――――――――――――――（7-5）例、设电量为+q的粒子，以角速度做半径为R的匀速圆周运动，求在圆心处产生的B。解：方法一按304rrVqB，运动电荷产生的B为304rrVqB，B大小为：3024rsinqVrB。r=R，RV，RqB40。方向：垂直纸面向外。方法二用圆电流产生B的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q形成的电流流线与+q运动的轨迹（圆周）重合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知，B的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载流线圈在其中心产生B的大小公式，可求出B的大小。设运动频率为f，可有2qqfIRqIB4200。§7-4安培环路定律安培环路定律内LLIldB0――――――――――――――――――――――――――（7-6）表明：B沿一个回路积分等于此回路内包围电流的代数和的0倍。说明：（1）如果l不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。（2）内LLIldB0，说明了磁场为非保守场（涡旋场）。（3）安培环路定律只说明ldBL仅与L内电流有关，而与L外电流无关。对于B是l内外所有电流产生的共同结果。1、求如右图情况ldBL=？解：由安培环路定律有：00内LLIldB)2(12II。2、无限长均匀载流直导体有一无限长均匀载流直导体，半径为R，电流为I均匀分布，求B分布。解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆周，在每一个圆周上B的大小是相同的。（1）导体内P处PB=？过P点做以a为圆心半径为ar的圆周，aP与轴垂直，安培环路定律为内110LLIldB（取过P点的一电力线为回路1L）可知PLLLLrBdlBBdlcosBdlldB2011110,2202200][1RrIrRIIPPL内2202RrIrBPP即PPrRIB202。方向如图所示（与轴及Pr垂直）。（2）导体外任一点Q处QB=？过Q点做以O为圆心，Qr为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：内220LLIldB可有：QLrBldB22，IIL002内，QQrIB20。QB方向如图所示（与轴线及Pr垂直）。3、螺绕环如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共N匝，电流为I，求环内任一点B=？解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的B的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取P所在磁力线为积分路径l，内llIldB02可知：BldlBcosdlBldBlll00，NIBlNIIl000内即lNIB0lNIBP0，方向在纸面内垂直OP.讨论：（1）因为r不同时，l不同，所以不同半径r处B大小不同。（2）当L表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点B的大小为nILNIB00，LNn为单位长度上的匝数。（3）如果环外半径与内半径之差环中心线的半径R时，则可认为环内为均匀磁场（大小），即大小均为nILNIB00。（4）环形螺线管中结果与无限长直螺线管中心轴线上B的大小相同。运用安培环路定律时的程序如下：（1）分析磁场的对称性；（2）适选闭合回路（含方向）；（3）求出?ldBL，?IL内0（4）利用内LLIldB0,求出B的值。§9-6带电粒子在外磁场中受力一、磁场对运动电荷的作用B对带电粒子作用仅是对垂直B运动的作用，受力为方向（正电荷）方向：大小：BVsinBqVBqVFBVqF――――――――――――――――――――――――（7-7）说明：（1）上式叫做洛仑兹力公式。它对正、负电荷都成立。q0，F沿BV方向；q0，F沿BV反方向。（2）B//V时，0F；BV时，maxFVBqF。（3）因为VF，所以，F对带电粒子不做功。（4）在均匀磁场中，BV：做圆周运动；V与B既不平行，也不垂直：做螺旋运动。（5）在电磁场中运动电荷受力公式为：qEBqVF，即)EBV(qF。§9-7磁场对载流导体的作用一、安培定律实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。二、安培定律的数学表述电流元受力BlIdFd―――――――――――――――――――――――――（7-8）此式为安培定律的数学表达式方向沿方向：大小：BldFdsinIBdldFFd说明：（1）0BIdldFB//ldBld。（2）对任意形状的载流导线和任意的磁场，BlIdFd都成立。对于一段导线受力可表示为LBlIdFdF。三、计算举例例9-14：如图所示，一无限长载流直导线AB，载电流为I，在它的一侧有一长为l的有限长载流导线CD，其电流为2I，AB与CD共面，且ABCD，C端距AB为a。求CD受到的安培力。解：取x轴与CD重合，原点在AB上。X处电流元BdxI2，在x处B方向垂直纸面向里，大小为：xIB2