不等式中的分类讨论思想

1解不等式中的分类讨论思想四川省乐至县吴仲良中学毛仕理64150008323358610Maoshili.126.com不等式的分类讨论常常围绕以下几点展开：1．一元一次不等式的一次项系数．该系数的符号与不等式解集的形态有关，所以若含有参数则要进行讨论．2.一元二次不等式的二次项系数．该系数若含有参数时，要讨论系数的符号.3.二次不等式的判别式．判别式△的符号决定解集的类型，所以若不等式系数中含有参数时，往往要对判别式进行讨论．4．在二次函数f(x)与x轴有两个交点(x1，0)、(x2，0)的情况下，求f(x)0或f(x)0的解集，若x1、x2中含有参数，要对x1与x2的大小关系进行讨论.5．指数、对数不等式的底数．指数、对数不等式的变形常与指数函数、对数函数的单调性有关，所以要对含有参数的底数分成(0,1)和(1，+∞)两个区间讨论.6绝对值不等式的讨论．与前面不同的是，绝对值不等式的分类讨论往往并非由于含有参数，而是为了运用绝对值本身的意义化不等式为不含绝对值的形式.例1已知关于x的不等式k(x-2)x+6(1)解该不等式；(2)若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围．解(1)(k–1)x2k+6当k1时，解集为{x|x162kk}.当k=1时，解集为φ当k1时，解集为{x|x162kk}．(2)620621kkk∴-7≤x-3.点拨当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关.因此，不等式的解集为R(不等式成立时)或φ(不等式不成立时).例2解关于x的不等式kx2+6x+k–80分析本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号．解△=36-4k(k-8)=-4(k-9)(k+1).(1)当k0时：若k≥9，则△≤0，不等式解集为φ；若0k9，则△0，解集为{x|kkkxkkk)1)(9(3)1)(9(3}.2(2)当k=0时：不等式为6x–80，解集为{x|x34}．(3)当k0时：若-1k0，则△0，解集为{x|xkkk)1)(9(3或xkkk)1)(9(3}.若k=-1，不等式为–x2+6x-90，解集为x∈R且x≠3.若k-1，则△0，解集为R．点拨由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．例3关于实数x的不等式|x-2)1(2a|≤2)1(2a与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(a∈R)的解集依次记为A与B，求使AB的a的取值范围．解由|x-2)1(2a|≤2)1(2a得-2)1(2a≤x-2)1(2a≤2)1(2a,∴2a≤x≤a2+1,∴A=[2a,a2+1].由x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤O得(x-2)(x–3a-1)≤0.当2≤3a+1,即a≥31时,AB131222aaa1≤a≤3.当23a+1,即a31时AB122132aaaa=-1.综上所述，a∈{-1}∪[1,3]．点拨本例的讨论原因是二次不等式所对应的方程两根大小的不确定．解题过程中还运用等价转化的思想，将两个区间的包含关系转化为区间端点的大小关系．例4已知aO,a≠1，解不等式loga(4+3x-x2)–loga(2x–1)loga2.解0120342xxx，得21x4．当a1时，4+3x–x22(2x–1),∴-3x2．3又∵21x4，∴21x2.当0a1时，4+3x–x22(2x–1)，∴x-3或x2∵21x4，∴2x4.因此，当a1时，解集为{x|21x2}；当0a1时，解集为{x|2x4}.点拨本例分类的原因是对数不等式的底数舍有参数.例5已知|x+1|+|21x–1|≥a的解集为R，求实数a的最大值．解|x+1|+|21x-1|=)1(23)21(221)2(23xxxxxx根据三段函数的单调性可知：在[2，+∞]上，不等式左边最小值为3；在[-1，2]上，不等式左边最小值为23；在(-∞，-1)上，不等式左边大于23,∴|x+1|+|21x-1|的最小值为23.∴a的最大值为23．点拨本例若用数形结合，可适当简化解题过程．令f(x)=|x+1|+|21x-1|，作f(x)的图像，如图．要使直线y=a不高于f(x)图像上任何点，a必须满足a≤23.