二次函数教材分析(北京东城区)

12020/9/11第二十六章《二次函数》教材分析主讲人：何丽晶宋明明一、课标及考试说明的相关要求二、知识点及考点分析三、内容分析及教学建议主要内容一、课标及考试说明的相关要求2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；课程标准中的要求：1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；一、课标及考试说明的相关要求课程标准中的要求：3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。一、课标及考试说明的相关要求考试说明的要求A能结合实际问题情境体会二次函数的意义,会用描点法画二次函数的图象。注：A：能对所学知识有基本的认识，能举例说明对象的有关特征，并能在具体情境中进行辨认，或能描述对象的特征，并能指出此对象与有关对象的区别和联系。一、课标及考试说明的相关要求考试说明的要求B.1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；2.能从图象上认识二次函数的性质；3会根据公式确定图像的开口方向、顶点和对称轴；4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。注：B:能在理解的基础上，把知识和技能运用到新的情境中，解决有关的数学问题和简单的实际问题。一、课标及考试说明的相关要求考试说明的要求C.能用二次函数解决简单的实际问题；能解决与其他知识结合的有关问题。注：C能通过观察、实验、推理和运算等思维活动，发现对象的某些特征及与其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决。二、知识点及考点分析本章教学内容26．1二次函数及其图象26．2用函数观点看一元二次方程26．3实际问题与二次函数二、知识点及考点分析本章知识结构实际问题二次函数利用二次函数的图象与性质求解实际问题的答案目标二、知识点及考点分析本章地位和作用“二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习二次函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。二、知识点及考点分析2009--2013年北京数学中考有关二次函数考点分析考查知识点09年10年11年12年13年1二次函数解析式的确定10-2411-2312-232二次函数的图象11-2312-2313-233与其它函数相结合12-2313-234二次函数与x轴交点坐标09-2310-2411-2312-2313-235二次函数顶点式10-66二次函数图象的平移09-2312-237根据几何或实际问题确定函数的图象11-812-813-88与二次函数有关数形结合思想，分类讨论思想09-2309-2410-24二、知识点及考点分析与二次函数有关的题目倾向于考查：（1）求二次函数解析式；（2）由二次函数图象综合分析；（3）数形结合的意识与能力。二、知识点及考点分析本章重点、难点1．重点:☆了解二次函数的含义☆理解二次函数的图象及其性质☆二次函数解析式的确定☆能用二次函数解决实际问题2．难点:☆二次函数图象特征及其性质．☆对二次函数与一元二次方程、不等式的关系理解与应用.☆应用二次函数解决实际问题．☆能解决与其他知识结合的问题三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数引入方法2:从我们学过的函数说起，从代数的角度引入，让学生猜想，还会研究什么函数，为什么？如何研究，进行学法指导.如：(1)观察代数式的值与x的值有什么关系？(2)观察代数式的值与x的值有什么关系?(3)是个什么样的函数呢？12x1322xx1322xxy对应引入方法1：从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.（书上）定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.注意：（3）x的取值范围是.整式即b,c可以为0,但a≠0.2任意实数1.二次函数的定义【题1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²(5)y=-x(6)v=10r²（7）y=（8）y=1x__x²1__应看化简后的表达式22x22x1.1二次函数的定义及相关概念【题2】（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？1.2根据二次函数定义确定字母的值27(3)(6).mymxmx1、在边长为4的正方形中间挖去一个边长为x的小正方形，剩下的面积为y，求y与x的函数关系式;2、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长x(cm)之间的关系；3、某机械公司第一月销售50台，求第三月销售y台与月平均增长率x之的关系式；1.3根据实际问题列二次函数表达式【题3】【题4】一农民用40米长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为x米，菜园的面积为y平方米，求⑴y与x之间的函数关系式和x的取值范围⑵当x=12时，计算菜园的面积。xmym2(40－2x)m三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数三、教学内容分析与建议2.二次函数的图像与性质※注重由简到繁,从特殊到一般的探索过程.cbxaxy2axy2khxay2)(kaxyhxay2)(三、教学内容分析与建议2.二次函数的图像与性质※注重全体学生的动手参与,要让学生会用描点法作图,明确过程，作图规范.※培养学生观察及抽象概括能力,要引导学生不断总结性质,加深认识.函数y＝x2函数y＝ax2（a≠0）函数y=a(x-h)2＋k（a≠0）函数y=ax2+bx+c（a≠0）y=ax2+k（a≠0）y=a(x-h)2（a≠0）目标动手画观察形分析数两对比再归纳重视描点法画图描点法画图给学生创造进一步体会函数意义的机会.对于二次函数图象、性质的探讨，建议教师留出一段时间与学生共同列表、画图，在探索的过程中，会有许多疑问.而这恰是学习新知识的开始.让学生体会1、图象方面——画图是学生应具备的基本技能,图象是学生研究性质的重要媒介,（1）画函数图象的方法：（2）画函数图象的步骤：（3）画函数图象的注意事项：2、性质方面——了解研究函数性质的一般方法.(1)二次函数图象特征:开口方向，开口大小,对称轴，顶点坐标(2)性质:最值、增减性二次函数的图象特征与a、b、c的关系)0(2acbxaxya决定图象的开口方向；c决定图象与y轴交点的位置；a、b共同决定图象的对称轴位置（左同右异）b=0对称轴y轴三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数3.二次函数解析式的确定--待定系数法0)ax)(xxa(xy0)k(ah)a(xy0)c(abxaxy2122（）双根式：顶点式：一般式：（已知三点坐标）（已知对称轴、顶点）（已知抛物线与x轴的交点）必须落实人人落实（1）已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标为(8,9)求这个二次函数的解析式。（2）已知二次函数的图象过A(-1,-1)、B(1,1)、C(0,-2)三点,求这条抛物线的解析式。（3）已知二次函数的图象过(-3,0)、(1,0)、（2，5），求这个二次函数的解析式.【例2】夯实，交流提升，拓展三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数重点三件事：了解一元二次方程根的几何意义（抛物线与x轴的交点的横坐标）抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点二次函数与一元二次方程b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0【题1】如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,x2=＿＿＿-3.3xAoyX=-13-11.3.【题2】已知抛物线y=x2+mx+m–2求证:无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.【题3】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根．（2）写出不等式的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．2(0)yaxbxca20axbxc20axbxc2axbxck图9【题4】下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．0abc240bacbac20axbxc23bac20axbxc240bac三、教学内容分析与建议教学要点分析1.二次函数的定义2.二次函数的图像与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数（1）注意教材中“探究问题”的定位，组织、引导学生自主探索，在合作讨论中分析、解决问题，熟悉建立数学模型的方法；（2）会用二次函数解决生活中的最值问题，注重学生综合能力的培养；（3）可结合各地实际情况，灵活应用数学活动.5.实际问题与二次函数实际问题“二次函数应用”的思路建立数学模型求解解决实际问题数学化从实际问题的数量关系，建立二次函数模型；从实际问题的图形，获取信息，确定二次函数的模型，问题求解.教材在本节中，通过面积问题、最大利润、磁盘存储量、水位变化等四个探究问题，展示了二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.探究1探究2建议：预备问题1：课本26页2预备问题2：将探究1改成：“价格变化1元，销售量变化10件”配习题：课本27页9某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？探究2第1步：找出实际问题的变量，并用字母表示变量；第2步：用自变量的代数式表示其他量；第3步：用解析式表示等量关系；第4步：利用二次函数的知识和问题实际解决问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000100102xxy(0≤X≤30)625060005100510522最大值时，yabx元\x元\y625060005300所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元注：