数列前n项和的求法

专题二：数列前n项和的求法一、倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2例2：求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值二、用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例3：求数列的前n项和Sn：例4：已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.例5：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例6：求和：132)12(7531nnxnxxxS例7：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.四、分组法求和（并项法）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8：求S=12-22+32-42+…+(-1)n-1n2(n∈N*)例9：求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…五、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。六、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan例10：求数列,11,,321,211nn的前n项和.例11：在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.七.用构造法求数列的前n项和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例12：求11111111111个n之和.练习：求5+55+555+….+555…5之和