二次函数教材分析(9-20)

二次函数教材分析人教版九年级数学第二十六章2008--2010连续三年北京数学中考二次函数试题(2008--24）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标（3,0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；(确定函数的表达式)（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；(会根据公式确定图象的顶点和对称轴,与解直角三角形，相似结合的问题)（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．(与勾股定理，相似结合的问题)图1图2(2009—23)已知关于的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(确定函数的表达式)（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围.(会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,与一次函数结合的问题)（2009--24）在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）.（1）在图1中画图探究：①当P1为线段CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连接EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1.判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明;②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论FEDCBAFEDCBA图1图2（备用）（2）若AD=6,，AE=1,在①的条件下，设CP1=x,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（与面积结合求函数解析式的问题，同时考查旋转和分类讨论思想)34tanBySFGP11(10—24)在平面直角坐标系xoy中，抛物线与轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求B点的坐标；(确定函数表达式、点的坐标定义)（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时C点、D点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；(二次函数与三角形的结合)②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．(运动变化与分类讨论)22153244mmyxxmm•二次函数与其它知识有广泛的联系,所以对它的考查非常综合,且灵活多样,故而对教学的要求比较高.本章基本点：二次函数的顶点本章基本方法：待定系数法和配方法本章基本思想：数形结合思想和转化思想一、本章教学内容26．1二次函数26．2用函数观点看一元二次方程26．3实际问题与二次函数地位和作用“二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.3.会根据公式确定图象的顶点和对称轴,并能解决简单的实际问题.4.会利用二次函数的图象,求一元二次方程的近似解.二、课程学习目标实际问题二次函数利用二次函数的图象与性质求解实际问题的答案目标本章知识结构·《2010年北京中考考试说明》对本章教学内容的要求知识ABC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义,会用描点法画二次函数的图象能通过分析实际问题情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的开口方向、顶点和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题三、本章重点、难点1．重点:☆了解二次函数的含义☆理解二次函数的图象及其性质☆二次函数解析式的确定☆能用二次函数解决实际问题2．难点:☆二次函数图象特征及其性质．☆对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用.☆应用二次函数解决实际问题．能解决与其他函数结合的问题四、教学要点分析与建议1.二次函数的定义2.二次函数的图象与性质3.二次函数解析式的确定4.用函数观点看一元二次方程5.实际问题与二次函数定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.注意：（3）x的取值范围是.整式即b,c可以为0,但a≠0.2任意实数1.二次函数的定义【题1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x-1)²+1(2)y=x+(3)s=3-2t²(4)y=(x+3)²-x²(5)y=-x(6)v=10r²（7）y=（8）y=1x__x²1__应看化简后的表达式22x22x1.1二次函数的定义及相关概念【题2】y=（m+3）x+（m-）x（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？m2-76注：解决此类问题的顺序是先次数后系数，通过一题多问的方式，明确常见函数的定义，复习已学知识，达到以新带旧的目的。1.2根据二次函数定义确定字母的值1、正方形面积y与边长x的函数关系：2、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长x(cm)之间的关系：3、圆的面积s与半径r的函数关系式：4、某机械公司第一月销售50台，第三月销售y台与月平均增长率x之间的关系式1.3根据实际问题列二次函数表达式注：所举实例注意从简单到复杂1、引入二次函数概念时,教学要注意考虑学生的理解能力，做到通俗易懂.2、随着学习的不断深入,逐渐加大难度,从文字叙述过渡到通过表格、图象呈现信息，列函数关系式的问题.【题3】•【题4】（2009年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）……（2）……（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．12008000400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图①图②根据实际问题列二次函数表达式既是本章的出发点,又是本章的落脚点,对它的教学贯穿全章.2.二次函数的图象与性质cbxaxykhxayhxaykaxyaxy22222)()(※注重全体学生的动手参与,要让学生会用描点法作图,明确过程，作图规范.※培养学生观察及抽象概括能力,要引导学生不断总结性质,加深认识.※注重由简到繁,从特殊到一般的探索过程.总体要求：函数图象画法列表描点连线描点法xy=x2y=-x2..................0-2-1.5-1-0.511.50.5200.2512.2540.2512.2540-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-42xy2xy二次函数的图象与性质)0(2aaxy2.1通过研究二次函数的图象与性质，要让学生体会到要研究二次函数需要从以下几个方面入手：)0(2aaxy1、图象方面——画图是学生应具备的基本技能,图象是学生研究性质的重要媒介,教师要充分重视学生画图能力的培养.（1）画函数图象的方法：描点法（2）画函数图象的步骤：列表、描点、连线;让学生体会表格法、图象法、解析式法是函数的三种不同表示方法（3）画图的注意事项：类比反比例函数图象，体会二次函数图象连线时要用光滑曲线，而不是折线段;图象可以无限延伸，画图时要注意越过两边的端点，画出延展趋势2、性质方面——注重学法指导，让学生了解研究函数性质的一般方法.注意引导学生从如下方面研究二次函数的性质开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性、最值、开口大小.注意纠正学生错误，从一开始就训练学生规范作图的能力.y＝ax2a0a0位置延伸方向在x轴上方在y轴左右两侧同时向上无限延伸在x轴下方在y轴左右两侧同时向下无限延伸开口开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小对称性关于y轴对称，对称轴方程是x＝0顶点顶点坐标是原点（0，0）顶点是最低点顶点是最高点增减性在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减y＝ax2的性质总结2.2总结(1)抛物线的图象可由的图象上下平移得到，kaxy22axy，向上平移，，向下平移，平移0k0kk个单位.(2)抛物线的性质：kaxy2①时，开口向上，时，开口向下；②对称轴为轴；③顶点坐标（０,）．0a0ayk的性质：kaxy2总结的性质0h0h(2)抛物线的性质：①时,开口向上；时，开口向下；2)(hxay0a0a(1)抛物线的图象可由的图象左右平移得到,,向右平移,,向左平移,平移个单位.2)(hxay2axyh②对称轴是直线；③顶点坐标是.)0,(hhx2)(hxay2.3②图象可由二次函数的图象平移得到.2axy①二次函数的图象是抛物线.khxay2)(总结khxay2)(的性质：二次函数图象的平移实际上是顶点的平移,要让学生先写出平移前后顶点的坐标,再确定平移的方向和距离2.4（2）抛物线的性质.khxay2)(①时，开口向上；时，开口向下；0a0a②对称轴是直线；hx③顶点坐标是.),(kh•二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质,是通过把它转化为顶点式来讨论的.abacabxay44)2(22y=ax2+bx+c(a≠0)•当b=0,c=0时，函数可化为y=ax2(a≠0)，它的顶点在原点，对称轴是y轴.•当b=0,c≠0时，函数可化为y=ax2+bx(a≠0)，它的图象经过原点(0,0).•当b≠0,c=0时，函数可化为y=ax2+c(a≠0)，它的图象的顶点为（0，c),对称轴是y轴.y=a(x-h)2+k(a≠0)•当h=0,k=0时，函数可化为y=ax2(a≠0)，它的顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴(x=0).•当h=0,k≠0时，函数可化为y=ax2+k(a≠0)它的图象的顶点为（0，k),对称轴是y轴(x=0).•当h≠0,k=0时，函数可化为y=a(x-h)2(a≠0)它的图象的顶点为（h，0),对称轴是x=h.•y=ax2+bx+c(a≠0),当x=0时,y=c,图象与ｙ轴交点坐标为(0,c)c是图象与ｙ轴交点的纵坐标.•y=a(x-h)2+k(a≠0),当x=h时,y=k,图象顶点坐标为(