追及与相遇问题.ppt

[要点提炼]初速度为0的匀加速直线运动，以T为时间单位下列比例式成立：(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝__________________(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n21∶2∶3∶…∶n(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝_____________________________．(4)通过连续相同的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝________________________________________．1∶3∶5∶…∶(2n－1)1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n－n－1)例1一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度；(2)前6s内的位移；(3)第6s内的位移．解析由v1＝at1得，a＝v1t1＝4m/s4s＝1m/s2所以第1s内的位移x1＝12a×12m＝0.5m(1)由于第4s末与第6s末的速度之比v1∶v2＝4∶6＝2∶3，故第6s末的速度v2＝32v1＝6m/s(2)第1s内与前6s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6s内小球的位移x6＝36x1＝18m(3)第1s内与第6s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)，故第6s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5m答案(1)6m/s(2)18m(3)5.5m1、追及与相遇问题的实质：2、理清三大关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。时间关系、速度关系、位移关系。3、巧用一个条件：1.物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。2.数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的方程（通常为一元二次方程），用判别式进行讨论，若0，即有两个解，说明可以相遇两次；若=0，说明刚好追上或相遇；若0，说明追不上或不能相碰。3.图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。4.相对运动法：巧妙地选取参照系，然后找两物体的运动关系。解答追及、相遇问题常用的方法(1)速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大②t=t0即速度相等时,两物体相距最远为x0+x③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追及且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速1.在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析。2.分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。解题思路分析两物体运动过程画运动示意图找两物体的关系式列方程求解三、追及和相遇问题(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？例3一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？(3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．例3一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，解：汽车:tatv3汽222321tatx汽例3一辆汽车以3m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？解：汽车:tatv3汽222321tatx汽乘客:smv/6自tvtx6人解析(1)因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即12at2＝v自t，得：t＝2v自a＝2×63s＝4sv汽＝at＝3×4m/s＝12m/s(2)开始阶段，v汽v自，两者距离逐渐变大．后来v汽v自，两者距离又逐渐减小．所以当v汽＝v自时，两者距离最大．设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度at1＝v自，代入得t1＝2s此时x自＝v自t1＝6m/s×2s＝12mx汽＝12at21＝12×3×22m＝6m最大距离Δx＝x自－x汽＝6m(3)两车运动的v－t图象如图所示．①由图知，若两车位移相等，即v－t图线与时间轴所夹的“面积”相等．由图中几何关系知，相遇时间为t′＝4s，此时v汽＝2v自＝12m/s.(3)画出两车运动的v－t图象，并试着用图象法解上述两问题．②由图象分析知，t＝2s前v汽v自，两者距离逐渐增大，t＝2s后，v汽v自，两者距离又减小，当v汽＝v自时(t＝2s时)两车距离最大，最大距离为图中三角形面积(阴影部分)．Δx＝12×6×2m＝6m.练一练、甲.乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图所示.若甲车加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长.求：（1）经过多长时间甲.乙两车间距离最大，最大距离是多少？（2）经过多长时间甲乙两车相遇？（3）试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车？(2)速度大者追速度小者类型图象说明匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：①若x=x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若xx0，则不能追及，此时两物体最小距离为x0-x③若xx0，则相遇两次，设t1时刻x1=x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇匀速追匀加速匀减速追匀加速说明：①表中的x是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；②x0是开始追及以前两物体之间的距离；③t2-t0=t0-t1；④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。例4一辆汽车从静止开始以2m/s2的加速度匀加速启动，同时一乘客在车后10m处以4m/s的速度追车，问人能否追上车？若能追上求追上的时间；若追不上求人和车的最小距离．开始阶段v人v车，人和车的距离逐渐减小，设经过时间t，人和车的速度相等，即at＝v人得t＝42s＝2s解：汽车:tatv2汽2221tatx汽乘客:smv/4人tvtx4人此时人和车相距最近此过程：x人＝vt＝4×2m＝8mmtatx42122汽因为x人x车＋x0故人追不上车．人和车的最小距离Δx＝x0＋x车－x人＝10m＋4m－8m＝6m在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）例1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t图象如图示，图中△OPQ和△OQT的“面积”分别为x1和x2(x2x1)。初始时，甲车在乙车前方x0处()A.若x0=x1+x2，两车不会相遇B.若x0x1，两车相遇2次C.若x0=x1，两车相遇1次D.若x0=x2，两车相遇1次ABC分析：汽车追上自行车之前，v汽v自时△x变大v汽=v自时△x最大v汽v自时△x变小解法一物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。（速度关系）v汽=at=v自∴t=v自/a=6/3=2s△x=v自t－at2/2=6×2－3×22/2=6m解法二用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远∵△x=x1－x2=v自t－at2/2（位移关系）∴△x=6t－3t2/2由二次函数求极值条件知t=－b/2a=6/3s=2s时，△x最大∴△xm=6t－3t2/2=6×2－3×22/2=6m解法三用相对运动求解更简捷选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：初速度v0=v汽初－v自=0－6=－6m/s末速度vt=v汽末－v自=6－6=0加速度a=a汽－a自=3－0=3m/s2∴相距最远x===－6mvt2－v022a－622×3解法四用图象求解1）自行车和汽车的v－t图象如图v/（ms-1）v′60t/st′tV汽V自由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以t=v自/a=6/3=2s2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，t′=2t=4sv′=2v自=12m/smtt662212621自自vvs2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）则vt′=at′2/26×t′=at′2/2，t′=4sv′=at′=3×4=12m/s思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那么，前面的1、2两问如何？例2：A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度与A火车同方向匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？两车恰不相撞的条件是：两车速度相同时相遇.由A、B速度关系：由A、B位移关系：21vatv022121xtvattv2220221m/s5.0m/s1002)1020(2)(xvva2/5.0sma则方法一：物理分析法v/ms-1BAt/so10t020100)1020(210tst2005.0201020a2/5.0sma则方法二：图象法022121xtvattv代入数据得010010212tat若两车不相撞，其位移关系应为2/5.0sma则0214)10(1002142aa其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有方法三：二次函数极值法022121xtvattv代入数据得010010212tat∵不相撞∴△00100214100a2/5.0sma则方法四、判别式法：以B车为参照物，A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=002022axvvt2220202/5.0/10021002smsmxvvat2/5.0sma则以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.方法五：相对运动法例3、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。一、数学分析法：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,当人追上车时，两者之间的位移关系为：x车+x0=x人即：at2／2+x0=v人t由此方程求解t，若有解，则可追上；若无解，则不能追上。代入数据并整理得：t2－12t