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第一章矩阵一、矩阵的定义由m×n个数排成m行n列的矩形数表⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211m个关于n个未知量x1，x2，…，xn的一次方程组成的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111线性方程组的系数矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211线性方程组的增广矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211矩阵相等同型矩阵行矩阵（或称行向量）列矩阵（或称列向量）n阶矩阵或n阶方阵单位矩阵上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵二、矩阵的运算1、线性运算矩阵A与B的和：C=A+B只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=mnmnmmmmnnnnbababababababababaCLMOMMLL221122222221211112121111矩阵A与数λ的乘积（简称矩阵的数乘），记作λΑ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnmmnnaaaaaaaaaλλλλλλλλλLMOMMLL212222111211矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。2矩阵的乘法设矩阵A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，构作一个m×n矩阵C=(cij)m×n，其中),2,1;,,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiijLLL===+++=∑=那么，矩阵C称为设矩阵A与矩阵B的乘积，记作：C=AB一个1×s行矩阵与一个s×1列矩阵的乘积是一个1阶矩阵，即一个数。所以，矩阵C=AB的第i行、第j列元素cij就是A的第i行与矩阵B的第j列的乘积。左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。矩阵乘法不满足交换律。矩阵乘法满足的运算规律：(1)(AB)C=A(BC)(2)(AB)=(λA)B=A(λB),其中λ为数(3)A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA3线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLL22112222121212121111表示从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，ym的线性变换。记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==×mnnmijyyyxxxaAMM2121,,)(yx，则y=Ax4矩阵的幂矩阵的非负整数幂的定义（A为n阶方阵）：A0=I，Ak+1=AkA由于矩阵乘法满足结合律，所以AkAl=Ak+l(Ak)l=Akl又由于矩阵乘法不满足交换律，所以，一般(AB)k≠AkBk5、矩阵的转置设矩阵A是一个m×n矩阵，构作一个n×m的矩阵，使它的第i行第j列元素是矩阵A的第j行第i列的元素（i=1,2,…,n，j=1,2,…,m），那么这个矩阵称为A的转置矩阵。记作ATAT的行为A的（相应）列，AT的列为A的（相应）行。矩阵的转置满足下列运算规律：（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(λA)T=λAT（4）(AB)T=BTAT设A为n阶矩阵：如果满足AT＝A，则称A为对称矩阵；对称矩阵A的元素满足：aij=aji(i,j=1,2,…,n)如果满足AT＝-A，则称A为反对称矩阵。反对称矩阵A的元素满足：aij=-aji(i,j=1,2,…,n)尤其注意，反对称矩阵A的主对角线元素aii=06、矩阵的逆设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I成立，那么矩阵A称为可逆矩阵，并且矩阵B称为A的逆矩阵，简称为矩阵A的逆。如果A的逆矩阵不存在，那么A称为不可逆矩阵。矩阵的逆满足下列运算规律：设A、B都是n阶可逆阵，数λ≠0，那么（1）A-1可逆，且(A-1)-1=A；（2）λA可逆，且(λA)-1=A-1/ ；（3）AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1；（4）AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T。7分块矩阵对于矩阵A，用若干条纵线和横线分成一些小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。两种常用的分块矩阵：分别以矩阵的行和列为子块。分块对角矩阵，或称准对角矩阵的概念分块矩阵的运算方法（了解）。第二章线性方程组与矩阵初等变换1、线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111可以写成Ax=b其中系数矩阵A=(aij)m×n常数列b=(b1,b2,…,bm)T未知量列x=(x1,x2,…,xn)T增广矩阵B=(A|b)如果b1,b2,…,bm全部为零，那么上述方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。2、高斯消元法线性方程组的三种初等变换：(1)交换两个方程的位置；(2)以非零数k乘一个方程；(3)把一个方程的k倍加到另一个方程上。任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价；任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换得到一个阶梯形的方程组。一种求解线性方程组的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的。——这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法3、利用矩阵初等行变换解线性方程组定义1下列三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)交换两行的位置(交换第i，j两行，记作ri↔rj)；(2)以非零数k乘某一行(以k乘第i行，记作kri)；(3)把某一行的k倍加到另一行上(把第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj)。三种初等行变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等行变换:变换ri↔rj的逆变换就是它(该变换)自身；变换kri（k≠0）的逆变换为ri/k；变换ri+krj的逆变换为ri+(-k)rj。任意矩阵A=(aij)m×n都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应的阶梯形方程组并用“回代”法求解，就可以得到原方程组的解。——这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法，是高斯消元法的另一种表现形式。4、一般的线性方程组解的三种不同情况⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111――⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++++0000000000000000000011,221,2222111,111211LLMMMMMMLLLLLLMMMMMMLLLLrrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc――⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=++++=++++++++++++00......0111,2211,222221111,11212111rrnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrddxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxcLLLLLLLLL(1)情形1：dr+1≠0，对应一个矛盾方程0x1+0x2+…+0xn=dr+1方程无解。(2)情形2：dr+1=0，r=n，此时非零行的行数等于未知量的个数，且crrxn=dr使用回代法可得到方程组唯一解。(3)情形3：dr+1=0，rn，此时非零行的行数小于未知量的个数，设crrxr=dr-cr,r+1xr+1-…-crnxn未知量xr+1,xr+2,…,xn取任意一组数值。再使用回代法可求得x1,x2,…,xr-1。因此方程有无穷多解。齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLL显然，x=(x1,x2,…,xn)T=(0,0,…,0)T总是方程组的解。所以，齐次线性方程组总是有解的（相容的），其解只可能出现情形2或情形3。如果出现情形2，方程组有唯一解，即它没有非零解；如果出现情形3，那么它有无数解，即它有非零解。定理1对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，使其化为行阶梯形矩阵S。那么齐次线性方程组没有非（只有）零解的充分必要条件是S中非零行的行数等于方程组未知量的个数；等价地，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是S中非零行的行数小于方程组未知量的个数.5矩阵的初等变换矩阵的三种初等列变换：(1)交换两列的位置(交换第i，j两列，记作ci↔cj)；(2)以非零数k乘某一列(以k乘第i列，记作kci)；(3)把某一列的k倍加到另一列上(把第j列的k倍加到第i列上，记作ci+kcj)。三种初等列变换也是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换可以化为矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B6初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。（1）交换两行（或列）的位置：把单位矩阵I中的第i，j行的位置交换(ri↔rj)；（2）以非零数k乘某一行（或列）：以非零数k乘单位矩阵I的第i行(kri)；（3）把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上。把单位矩阵I的第j行的k倍加到第i行上(ri+krj)。用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i，j行交换位置(ri↔rj)；用n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i，j列交换位置(ci↔cj)；用m阶初等矩阵Em(i(k))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等行变换：以非零数k乘A的第i行(kri)；用n阶初等矩阵En(i(k))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等列变换：以非零数k乘A的第i列(kci)；用m阶初等矩阵Em(i,j(k))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等行变换：把j行的k倍加到第i行(ri+krj)；用n阶初等矩阵En(i,j(k))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等列变换：把i列的k倍加到第j列(cj+kci)；定理2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。初等矩阵是可逆的。定理3（逆矩阵定理）设A是n阶矩阵，那么下列各命题等价：（1）A是可逆矩阵；（2）齐次线性方程组Ax＝0只有零解；（3）A可以经过有限次初等行变换化为In；（4）A可表示为有限个初等矩阵的乘积。7利用矩阵初等变换求矩阵的逆设n阶矩阵A可逆，由定理3可知，存在初等矩阵P1、P2、…、Ps，使得In＝Ps…P2P1A即InA-1＝Ps…P2P1AA-1A-1＝Ps…P2P1In以上公式表明：A可以经过一系列初等行变换化为I；I经过这同一系列初等行变换化为A-1。利用分块矩阵，公式In＝Ps…P2P1A和A-1＝Ps…P2P1In可合并表示为：Ps…P2P1(A|In)=(In|A-1)即对n×2n矩阵(A|In)施行初等行变换，当把子块A化为In时，另一子块In就化为A-1。利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可以推广为求矩阵A-1B的方法，由A-1(A|B)=(I|A-1B)可知，如果对矩阵(A|B)施行初等行变换，当把A化为I时，B就化为A-1B。类似地，如果要求CA-1，可以对矩阵(AT┆CT)T作初等列变换，当把A化为I时，C就化为CA-1。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−11CAIACA第三章行列式1、全排列及其奇偶性把n个不同的元素排成一列，叫做