二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》关于二次函数的概念定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.例1：若mmxmmy2)(2是二次函数，则m＝______〖练一练〗1、下列函数不属二次函数的是()A.y=(x－1)(x+2)B.y=21(x+1)2C.y=2(x+3)2－2x2D.y=1－3x22、下列函数中，是二次函数的有（）①231xy②21xy③xxy1④xxy2121A、1个B、2个C、3个D、4个3、如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为________.关于二次函数图像的开口方向，对称轴以及顶点坐标1.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0a时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a越大，图像开口越小，a越小，图像开口越大。②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.例1:抛物线422xxy的开口方向是；对称轴是____；顶点为____________例2：抛物线2)2(xy的顶点坐标是__________;抛物线221yxx的对称轴是__________;抛物线y＝2x2＋4x－3的顶点坐标是__________.例3：已知二次函数213xy、2231xy、2323xy，它们的图像开口由小到大的顺序是（）A、321yyyB、123yyyC、231yyyD、132yyy例4:老师给出一个函数y=f（x）,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x＜2时，y随x的增大而减小。丁：当x＜2时，y＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数________________________〖练一练〗1、（1）二次函数2(1)4yx的图象的顶点坐标是，对称轴是__________（2）二次函数2122yx的图象的顶点坐标是，对称轴_____________（3）二次函数232yxx的图象的顶点坐标是，对称轴是_____________（4）二次函数22(1)2yxx的图象的顶点坐标是，对称轴是____________2、抛物线822xxy的对称轴为直线_________，顶点坐标为_________，与y轴的交点坐标为_______.3、二次函数22(3)5yx图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A.开口向下，对称轴为3x，顶点坐标为（3，5）B.开口向下，对称轴为3x，顶点坐标为（3，5）C.开口向上，对称轴为3x，顶点坐标为（-3，5）D.开口向上，对称轴为3x，顶点坐标为（-3，5）4、抛物线①213xy②2231xy③2323xy的开口由小到大顺序是.5、抛物线21323yxx与2yax的形状相同，而开口方向相反，则a=（）A、13B、3C、3D、136、与抛物线53212xxy的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A、2523412xxyB、87212xxyC、106212xxyD、532xxy7、二次函数y=－x2＋6x－5，当x时，0y，且y随x的增大而减小。8、用配方法将二次函数242426yxx写2()yaxhk的形式是_____________．9、二次函数y=-x2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________.10．二次函数y=2x2-x,当x______时y随x增大而增大，当x______时,y随x增大而减小．11.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上，则a．b．c中一定有___=0．12．已知抛物线y=ax2+bx,当a0,b0时,它的图像经过象限.13、已知抛物线21(1)4yxmx的顶点的横坐标是2，则m的值是_______．14、函数xxy22有最____值，最值为_____.15、已知函数2)(22xmmmxy的图像关于y轴对称，则m＝________.16、二次函数cbxxy2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4B.x＝3C.x＝－5D.x＝－117、抛物线2(0)yaxbxca对称轴为直线x＝2，且过点P（3，0），则cba=_______18、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（）A、x3B、x3C、x1D、x119、若抛物线nmxay2)(的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A、3xB、3xC、1xD、0x20、关于x的二次函数2(1)2yx，下列说法正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（12，）C．当1x时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）关于二次函数图像与x轴、y轴的交点1、y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).2、二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.3、抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,22212121212444bcbacABxxxxxxxxaaaa2（）（）（）例1：（1）二次函数222yx的图象与x轴的交点坐标是；（2）二次函数22(1)1yx的图象与y轴的交点坐标是；（3）二次函数22(1)4yx的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是__________________（4）二次函数2246yxx的图象与x的交点坐标是，与y轴的交点坐标是__________________例2：二次函数221yxx与x轴的交点个数是__________例3：抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是________；抛物线1662xxy与x轴交点的坐标为_________例4：函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A、3kB、03kk且C、3kD、03kk且例5：已知抛物线22(1)yxkxk与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线1x的两侧，则k的取值范围是_____________．例6：抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为．例7：已知函数220012002yxx与x轴的交点为(,0),(,0)mn，则22(20012002)(20012002)mmnn=_________．〖练一练〗1、若二次函数2223mmxmxy的图像经过原点，则m＝________2、若x的方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在第_____象限。3、抛物线222kxxy与x轴有个交点，与y轴交点的坐标为________4、已知抛物线21433yx的部分图像（如图所示），图像再次与x轴相交时的坐标是（）A、（5，0）B、（6，0）C、（7，0）D、（8，0）5、二次函数122xxy的图像在x轴上截得的线段长为（）A、22B、23C、32D、336、抛物线222kxxy与x轴交点的个数为（）A、0B、1C、2D、以上都不对7、若方程02cbxax的两个根是－3和1，那么二次函数cbxaxy2的图像的对称轴是直线（）A、x＝－3B、x＝－2C、x＝－1D、x＝18、二次函数1)12(22mxmxy的图象与x轴无交点，则m的取值范围是．9、已知抛物线cxaxy22与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（ca,）在第象限．10、已知二次函数11)(2k2－－＋＝xkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x（21xx＜），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当2xx＞时，y＞0；③方程011)(22＝－＋xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；④11＜x，12＞－x；⑤22114kxxk＋－＝，其中所有正确的结论是（只需填写序号）．11、已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则b=，c=．12、已知y关于x的函数：22211ykxkxk中满足3k≤．（1）求证：此函数图象与x轴总有交点．（2）当关于z的方程2233zkzz有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．关于二次函数图像的平移例1：由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图像可由y=2x2的图像向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到．〖练一练〗1、二次函数y=-x2+kx+12的图像与x轴交点都位于（6，0）左侧，则k的取值范围为______________.2、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A、(0，0)B、(1，－2)C、(0，－1)D、(－2，1)2、二次函数2yxbxc的图像沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图像的函数解析式为221yxx，则b与c分别等于（）A、6，4B、－8，14C、－6，6D、－8，－143、若把抛物线cbxaxy2向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线122xxy则()A、b=2，c=-2B、b=-6，c=6C、b=-8，c=14D、b=-8，c=184、已知二次函数2111yxbxb≤≤，当b从1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）Ａ、先往左上方移动，再往左下方移动Ｂ、先往左下方移动，再往左上方移动Ｃ、先往右上方移动，再往右下方移动Ｄ、先往右下方移动，再往右上方移动关于二次函数的性质及图像抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用：（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）;①0c，抛物线过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.例1:函数)0(2acbxaxy的图像如图所