分类讨论思想在一元二次方程中的运用

1分类讨论思想在一元二次方程中的运用在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。例1已知方程222110mxmx有实数根，求m的取值范围。分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。解：⑴当20m，即0m时，方程为一元一次方程10x，有实数根1x。⑵当20m，即0m时，方程为二次方程，由有实根的条件得，22214410mmm，14m。所以14m，且0m。综合⑴、⑵，得14m。评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种⑴前置式，即“二次方程”；⑵后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。例2当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数。解：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，二次项系数不为零，即0m。又由于方程均有实根，214440m，解得1m。又2224414450mmm，解得54m。514m。又m是整数，且0m，1m或1.当1m时，方程2440mxx为2440xx，2解得方程的根为222x，它的根不是整数，故1m舍去。当1m时，方程2440mxx的根为122xx，方程2244450xmxmm根为15x，21x，均为整数，1m。评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。例3已知关于x的方程：22204mxmx。⑴求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。⑵若这个方程的两个实数根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x。解：⑴222242124mmm，不论m取值，总有2210m，22120m，即0，方程总有两个相异的实根。⑵21204mxx，10x，20x或10x，20x。①若10x，20x，则212xx，122xx。4m。此时2240xx，115x，215x。②若10x，20x，则212xx，122xx。0m。此时220xx，10x，22x。评注：本例是根据方程的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。3例4若实数a、b满足2850aa，2850bb。求1111baab的值。解：由方程根的定义，知a、b是方程2850xx的两个根，8ab，5ab，1111baab2222201ababababab。事实上，题设中的a与b是可以相等的，当ab时，原式=2。综上所述：当ab时，原式=20；当ab时，原式=2。评注：本例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：⑴明确讨论的对象。⑵进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的。⑶逐类讨论，分级进行。⑷归纳并作出结论。