分类讨论思想在中学数学中的应用

1期中论文课程：中学数学解题研究题目：分类讨论思想在中学数学中的应用姓名：沙瑞珠学号：20111021226班级：2011级数学与应用数学2班2分类讨论思想在中学数学中的应用摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学．它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化．本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则．并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等式，函数，数列和排列组合中的应用等．关键词：分类讨论数学思想解题策略中学数学1引言数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考．有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育．这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法．从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的．分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的．2简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．通过对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏．33分类讨论思想的标准一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类12,,...,nAAA，这时，在12,,...,nAAA上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准．例如，对方程20(0)axbxca及2=4bac来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是0还是0还是0，这时我们可以简单的说按分类．又如，讨论函数log(0,1ayxaa且）的单调性，其分类讨论标准是01a还是1a，可以理解为按a分类．又如sin()2nnz的值，其分类讨论标准可确定为n是奇数还是偶数，并可简单的认为按n分类．4分类讨论的原则1为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破．一般地，在集合A上讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P把A划分为12,,...,nAAA的并集，而后，分别在12,,...,nAAA上讨论这个数学问题与在A上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的．分类时，要遵循以下三条原则：①,1,2,...,iAin；②,,,,1,2,...,ijAAijijn且；③12...nAAAA；下面阐述这三条原则各自的作用.“①,1,2,...,iAin”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什么意义了；“②,,,,1,2,...,ijAAijijn且”可以保证问题不会重复，也就是说，在1A上讨论问题，肯定不含23,,...,nAAA中的元素；在2A上讨论问题，肯定不含13,,...,nAAA中的元素；4“③12...nAAAA”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在12,,...,nAAA上讨论问题，其总和等于在A上讨论同一问题．5分类讨论思想在中学数学中的应用5.1分类讨论思想在三角形中的应用5.1.1三角形的边长不明确时需分类讨论2例1如果三角形的两边长分别是23cm和10cm,第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等,不明确具体,因此需分两种情况讨论．解①当第三边的长为23cm时,其三边长分别为23cm、23cm、10cm,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此,这三边构成三角形.所以第三边的长为23cm；②当第三边的长为10cm时,其三边长分别为10cm、10cm、23cm,因为101023，所以它不能构成三角形,故第三边长不能为10cm．综上所述,第三边的长为23cm．例2:已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为___.分析：分类讨论：当4为直角边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为√7.评注题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密,将会出现漏解或错解．5.1.2三角形的高不明确时需分类讨论2例1在三角形ABC中,AB=8，030ABC，AC=5，则BC等于多少？分析根据题意可知，ABC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形ABC的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能正确、圆满地解决问题．解i）当AD落在ABC的内部时，如图（1）所示，在RtABD中，因为08,30ABABC，所以04,8cos3043ADBD，同理，在RtACD中，2222543DCACAD，所以5433BCBDDC．BCAD图（1）ii）当AD落在ABC外部时，如图（2）所示，此时ABC为钝角三角形，同上，在RtABD中，4,43ADBD，在,3RtACDDC中，所以433BCBDDC，BCAD图（2）综上所述，边BC的长为43343-3或．5.2分类讨论思想在集合中的应用例1同时满足：（1）1,2,3,4,5M；（2）若,(6)aMMM则的非空集合M有多少个？并写出这写出这些集合来．解:按集合M中元素个数分类讨论：i）M中只有1个元素时，若3,6633MaM则，所以3M；ii）M中有2个元素时，满足条件的M有2个：1,5,2,4MM；iii）M中有3个元素时，满足条件的M有2个：1,3,5,2,3,4MM；iv）M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：1,2,4,5M；v）M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：1,2,3,4,5M；6所以适合条件的集合M共有7个．例24设2|(2)10,,AxxbxbbR求集合A中所有元素之和．解:2(2)10,xbxb22(2)4(1)0bbb．当0b时，121xx．1A，此时集合A中所有元素之和为-1；当0b时，集合A中含两个元素，此时，由韦达定理知，集合A中所有元素之和为(2)b．例34设222|40,|2(1)10AxxxBxxaxa，其中xR，如果ABB，求实数a的取值范围．解:2|400,4Axxx，因为,ABBBA所以．i)22=41)4(1)0,1Baaa时，（即．ii)04BB或时，2241)4(1)0aa（．即1a．此时方程222(1)10xaxa化为20x．即120,0xx．所以0B满足条件．iii）0,4B时，由韦达定理知2-21)410aa（，得1a．综上所述，实数a的取值范围为11aa或．5.3分类讨论思想在绝对值问题中的应用绝对值的代数定义：0000aaaaaa．7例1若2016,2ab，求ab的值．解:因为2016,2ab．所以2016,2ab．当2016,2ab时，2018ab；当2016,2ab时，2014ab；当2016,2ab时，2018ab；当2016,2ab时，2014ab．例2有理数2x到有理数-1的距离是3，有理数1y到3的距离是5，且xy，求xyxy和的值．分析:在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即2422xx或；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即1218yy或．解:依题意得2422xx或，1218yy或．解得24,37xxyy或或．因为xy，所以2,34,3xyxy或．所以xy的值为-5或1，xy的值为1或7．例3解不等式2116xx．分析:解这个不等式的关键在于确定211xx和的符号，由于x的不同取值，211xx和可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论．8解:令210x，得12x；令10x，得1x；所以在实数集内应以112和为分类标准，分成三个区间来讨论：i）当12x时，原不等式可化为2116xx，解得2x；ii）当112x时，原不等式可化为2116xx，解得4x（舍去）；iii）当1x时，原不等式可化为2116xx，解得2x；综上，原不等式的解集合为|22xxx或．评注可见分类讨论思想关键在于怎么分类，要由题意确定分类的标准，要周密考虑，做到不重不漏．5.4分类讨论思想在不等式中的应用例1解关于x的不等式20()xaaRxa．分析:因为22()()00xaxaxaxa，所以此不等式可以转化为一元二次不等式2()()0.xaxa因2aa与大小不能确定，故需分类讨论．解:由题意得20()xaaRxa等价于2()()0xaxa．（1）若0a，则20aa，不等式变为20x，无解；（2）若1a，则21aa，不等式变为2(1)0x，无解；（3）若01a，则2aa，所以2axa；（4）若01aa或，则2aa，所以2axa．综上所述，当0a或1a时，原不等式的解集为；当01a时，原不等式的解集为2|xaxa；当01aa或时，原不等式的解集为2|xaxa．例2：解方程∣x+2∣+∣3-x∣=5解：对于绝对值问题，往往要对绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在此方程中出现两个数的绝对值；即∣x+2∣和∣3-x∣，对于∣x+2∣应9分为x=-2，x＜-2,x＞-2；对∣3-x∣应分为x=3，x＜3，x＞3，把上述范围画在数轴上，可见对这一问题应划分为三种情形：①x＞-2，②-2≤x≤3，③x＞3，得解如下：①当x＜-2时，化简-（x+2）+3-x=5得x=-2，这与x＜-2矛盾，故x＜-2时方程无解。②当-2≤x≤3时，原方程x+3+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是方程的解。③当x＞3时，化为x+2-（3-x）=5，得x=3，这与x＞3矛盾，故x＞3时无解。综上所述，原方程的解为满足-2≤x≤3范围内的任意实数评注此题是含参型不等式题，属于一级分类讨论问题,通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．应注意最后要将结果归纳总结．5.6分类讨论思想在函数中的应用7例1已知关于x的函数2(4)(21)ymxmxm的图像与x轴总有交点，求m的取值范围．解:（1）当40m，即4m时，函数为一次函数，图像与x轴有一个交点；（2）当40m时