数学必修五1.1.2余弦定理课件

复习回顾正弦定理：CsincBsinbAsinaR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AAS（2）已知两边和一边的对角。SSACsinR2c,BsinR2b,AsinR2a变形：Csin:Bsin:Asinc:b:a千岛湖120°情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖千岛湖情景问题120°岛屿B岛屿A岛屿C?120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC用正弦定理能否直接求出AC？CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞a2+b2c2＜a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2学车问答学车问题开车问题学车怎么办？驾校大全驾考单机版软件车类小游戏=AcbCBa∣AB∣c2==ABABAB=AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想﹚Abccbacos2222﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.Cabbaccos2222﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222Cabbaccos2222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabca2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳想一想：余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c22abC=90°a2+b2=c2cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosA=—cosB=—cbc问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos2222220cba90A2220cba90A2220cba90A剖析定理abcbaC2cos222剖析120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为8.24km.BBCABBCABACcos222296.67120cos4.3624.3622o24.8AC剖析定理（4）能否把式子转化为角的关系式？Abccbacos2222分析：ARasin2:得RCcBbAa2sinsinsin:由正弦定理BRbsin2CRcsin2:cos2222并化简得代入AbccbaACBCBAcossinsin2sinsinsin222202000:sin70sin50sin70sin50.练习求的值2020000:sin70sin502sin70sin50cos60解原式20sin6034剖析（1）已知三边求三个角SSS222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.SAS222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理剖析.cos.13,2,2.1BcbaABC求中，已知在例..150,2,33.2bBcaABC求中，已知在例）为（则中，已知在AcbcbaABC,222323.32.6.3.或DCBA练习1.C.__________,10,13,13度数为的最大角的则中，若在ABCcbaABC练习2.120练习3.,)(abcbacbaABCcba）满足：（的三边长，且分别是、、已知.）等于（则C150.120.90.60.DCBAC会用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用再练：2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。继续练思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。222(,)90180cBba（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。1212122.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC222222222222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab3.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法（1）已知三边求三个角；（SSS）222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(SAS)5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形课后作业：1.在△ABC中,已知b＝4,c＝10,B＝30o,解这个三角形。2.设x、x＋1、x＋2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围.3.在△ABC中,A＝60o,a＝1,b＋c＝2,判断△ABC的形状.4.三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2－7x－6＝0的根，求这个三角形的面积.