数列在生活中的应用

课前探究学习课堂讲练互动正确理解储蓄及利息的计算方法．了解并掌握购房贷款中的相关知识．明确现行银行的还款方式．§4数列在日常经济生活中的应用【课标要求】【核心扫描】能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题．(重点、难点)了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．(重点)1．2．3．1．2．课前探究学习课堂讲练互动自学导引1．有关增长率、利率等的计算(1)增长率＝____________；(2)优惠率＝_______________________；(3)存款利率＝_________.增长量增长前的量利息存款额购买商品获得的优惠额商品标价课前探究学习课堂讲练互动试一试：什么情况下建立数列模型？提示根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出金额为：_____________.2．nApnApqnAp(1－q)＋A课前探究学习课堂讲练互动(2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为：__________，应纳税为：_____________，实际受益金额为_________________．12n(n＋1)Ap12n(n＋1)Apq12n(n＋1)Ap(1－q)3．分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为：___________.ar1－rm1＋rm－1想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？提示单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．课前探究学习课堂讲练互动解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤为下框图：名师点睛1．课前探究学习课堂讲练互动数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公比，其一般形式是：an＋1－anan×100%＝q(常数)．2．课前探究学习课堂讲练互动例如：①银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x.②产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x.(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．课前探究学习课堂讲练互动题型一等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[思路探索]先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决．【例1】课前探究学习课堂讲练互动解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝4－n－15(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4.公差为－15的等差数列．a5＝4－5－15＝3.2(万元)．S10＝10×4＋10×10－1×－152＝31(万元)．课前探究学习课堂讲练互动31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．课前探究学习课堂讲练互动一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，xn.由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴数列{xn}成等差数列，【训练1】课前探究学习课堂讲练互动每个水龙头1min放水124n(这里不妨设水池的容积为1)，∴124n·(x1＋x2＋…＋xn)＝1，∴nx1＋xn2＝24n，∴x1＋xn＝48.又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40(min)，故最后关闭的水龙头放水40min.课前探究学习课堂讲练互动陈老师购买工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)注①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和．②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.【例2】题型二等比数列模型(复利问题)课前探究学习课堂讲练互动[思路探索]按复利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利息之和．解设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1000×92－(28800＋14400)]×1.07510＝48800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48800×1.07510(元)，所以x＝48800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48800×2.061×0.071≈7141(元)．∴每年需付款7141元．课前探究学习课堂讲练互动规律方法求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要．课前探究学习课堂讲练互动某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？【训练2】课前探究学习课堂讲练互动bn＋1＋a1＋pp＝(1＋p)bn＋a1＋pp，其中b1＋a1＋pp＝a1＋p2p.∴bn＋a1＋pp是以a1＋p2p为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝ap[(1＋p)n＋1－(1＋p)]．即这个家庭到2022年年初本利可达ap[(1＋p)11－(1＋p)]元．解从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为课前探究学习课堂讲练互动(本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万m2，其中有250万m2是中、低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万m2.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?(2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?审题指导第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数列通项公式求出bn表达式，解不等式an0.85bn，求得n的最小正整数解．【例3】题型三等差、等比数列的综合应用课前探究学习课堂讲练互动【解题流程】[规范解答](1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n，(2分)令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.(4分)∴到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4750万m2.(5分)课前探究学习课堂讲练互动(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，(8分)由题意可知an0.85bn，有250＋(n－1)50400×(1.08)n－1×0.85.(10分)由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6，∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(12分)【题后反思】解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.课前探究学习课堂讲练互动据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？(2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？【训练3】课前探究学习课堂讲练互动解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，