毕奥—萨伐尔定律

11819-20年:奥斯特发现电流的磁效应求解电流磁场分布基本思路：将电流视为电流元的集合电流元磁场公式磁场叠加原理电流磁场分布毕—萨定律：电流元产生磁场的规律,与点电荷电场公式地位等价§11-2毕—萨定律1.毕奥—萨伐尔（Biot-Savart）定律载流导线中的电流为I，导线半径比到观察点P的距离小得多，即为线电流。在线电流上取长为dl的定向线元，规定的方向与电流的方向相同，为电流元。lIdldIIdl3电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与Idl成正比，与电流元和矢径夹角的正弦成正比，与到电流元的距离平方成反比。2sinddrlIkBBdrPldIlIdBdr方向满足右手螺旋403dB(1117)4LIlrr03dd(1116)4Ilrr磁感应强度的矢量式：Biot-Savart定律的微分形式Biot-Savart定律的积分形式其中0=410-7N•A-2，称为真空中的磁导率。02dsind4IlBrBdrPldI52.运动电荷的磁场-----电流元磁场的本质电流运动电荷形成磁场6设电流元，横截面积S，单位体积内有n个定向运动的正电荷,每个电荷电量为q，定向速度为v。ldI单位时间内通过横截面S的电量即为电流强度I:电流元在P点产生的磁感应强度qnvSI20sind4drlqnvSBIIdlP设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：lnSNdd7每个带电量为q的粒子以速度v通过电流元所在位置时，在P点产生的磁感应强度大小为：20sin4ddrqvNBB方向：20sind4drlqnvSBlnSNddIIdlP正电荷速度v的方向与电流元同向，由上式：rvB的方向为的方向8矢量式：运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围空间激发电场。304rrvqBqrvEBPrrqE3041+•q0vrrv0q9304rrvqB3014qErrEvB00运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。10应用举例：讨论一些典型电流的磁场分布求解电流的磁场分布基本思路：将电流视为电流元（或典型电流）的集合电流元（或典型电流）磁场公式和磁场叠加原理电流磁场分布§11-3毕—沙定律及其应用(续)111.载流长直导线的磁场设有长为L的载流直导线，通有电流I。计算与导线垂直距离为d的p点的磁感强度。取Z轴沿载流导线，如图所示。OPBd12ILldrld1230d4drrlIB所有dB的方向相同，所以P点的的大小为：BLLrlIBB20sind4d按毕奥—萨伐尔定律有：OPBd12ILldrld13LLrlIBB20sind4d由几何关系有：secdrcossindsecd2dltandlOPBd12ILldrlddcos4210dILrlIB20sind4120sinsin4dI14考虑三种情况：dIB20(1)导线无限长，即(2)导线半无限长，场点与一端的连线垂直于导线dIB40(3)P点位于导线延长线上，B=0120sinsin4dIBOPBd12ILldrld2122IB15IPR0dyyBB由对称性：练习：半径R,无限长半圆筒金属面通电流I，求轴线上B解：通电半圆筒面电流线(无限长直电流)集合RIRIBBBx200202dsinsindx沿方向IdBdRPId'dBdddIRRIIRIRIB2002d2dddxy2.载流圆线圈轴线上的磁场在场点P的磁感强度为30d4drrlIB设有圆形线圈L，半径为R，通以电流I。PORlIdr//dBBdBdxI•sind420LrlI//dBBLsindBLRlrI2020d4sinPORlIdr//dBBdBdxI各电流元的磁场方向不相同，可分解为和，由于圆电流具有对称性，其电流元的逐对抵消，所以P点的大小为：BdBBd//dB02sin2IRr02sin2IBRr21)(sin,22222xRRrRxRr2323)(2)(22202220xRISxRIRB2RSPORlIdr//dBBdBdxI192323)(2)(22202220xRISxRIRB201.定义电流的磁矩nSIPm讨论：规定正法线方向：与指向成右旋关系In电流所包围的面积:SnRIPm2圆电流磁矩：23220232220)(2)(2xRPxRiIRBm圆电流轴线上磁场：RINBNRIB2:;20000匝2.圆心处磁场0xISmPn21xB3.画曲线xoB练习：IoRoRI?oB800RIBRIRIB483000ixRIRB232220)(2223.载流直螺线管内部的磁场设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有线圈n匝。R1Alld2A2r1pBd23由于每匝可作平面线圈处理，ndl匝线圈可作Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：2/32220)(2ddlRlnIRBR1Alld2A2r1pBdLLlRlnIRBB2/32220)(2dd24cotRlR1Alld2A2r1pBd2222cscRlR又LlRlnIRB2/32220)(2ddcscd2Rldsin2210nI)cos(cos2120nI25讨论：nIB02/0nIB实际上，LR时，螺线管内部的磁场近似均匀，大小为nI0)cos(cos2120nIB（1）螺线管无限长（2）半无限长螺线管的端点圆心处0,21nI0BO1A2A20nI1A2A2r1pBd26例题11-1亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。RO1RQ1PO2Q2R解设两个线圈的半径为R，各有N匝，每匝中的电流均为I，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，在圆心O1、O2处磁感应强度相等，大小都是27两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为RNIRNIRRNIRRNIB002/3222000677.02211222RNIRNIRRNIRBP002/32220716.02211558222RO1RQ1PO2Q2R28此外，在P点两侧各R/4处的Q1、Q2两点处磁感应强度都等于RNIRNIRRNIRRRNIRBQ0332/3302/322202/32220712.054174243242RO1RQ1PO2Q2R29在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介乎B0、BP之间。由此可见，在P点附近轴线上的场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲线。O1Q1PQ2O230小结：用毕—沙定律求分布B(1)将电流视为电流元集合（或典型电流集合）(2)由毕—沙定律（或典型电流磁场公式）得BdBBd(3)由叠加原理（分量积分）31典型电流磁场公式：3.无限长载流直螺线管内的磁场：nIB023220232220)(2)(2xRPxRiIRBm2.圆电流轴线上磁场：1.无限长直电流：aIB20圆电流圆心处磁场：200RIB电流的磁矩：nSIPm