1-Boost数学模型

Boost电路的数学模型1.概述我们在进行PFC控制系统设计时，必须建立控制对象的数学模型。在公司典型的控制结构中，一般都采用了电流内环很电压外环的双闭环的控制方法。电流内环为电感电流内环，电压外环为BUS电压的外环。为了设计两个闭环控制器，本文利用小信号平均的方法，建立了BOOST电路的状态空间平均模型。小信号模型是一种平均模型，它是假设在稳态情况下，对系统加一低频的交流扰动信号，然后可以得到扰动信号之间的传递函数。其中，对于电力电子变换器这一模型来说，其小信号模型的存在必须满足以下3个条件：交流小信号的频率gf开关频率sf；滤波器的截止频率ofsf；交流小信号的幅值|ˆ|x对应的直流分量的幅值||X。对于BOOST电路来说，由于开关频率sf很高，所以，我们可以利用小信号的方法，来得到系统中各量之间的传递函数。2.平均状态方程的建立假设有一开关函数)(tsk，当开关管导通时，为1，而关断时，为0。当1)(tsk时：RudtduCVridtdiLccsLlL（1-3）而当0)(tsk时：RuidtduCuriVdtdiLcLccLLsL（1-4）将开关函数等效为占空比d，将（1-3）乘于d，（1-4）乘于)1(d，并相加可以得到：RuiddtduCVudirddrdtdiLcLcscLLLL)1()1(])1([（1-5）经过化简可得：RuiddtduCVudirdtdiLcLcscLLL)1()1(3.小信号模型的建立加入扰动量Liˆ，cuˆ,dˆ,sVˆ，可以得到如下的小信号扰动模型：RuUiIdDdtuUdCVVuUdDiIrdtiIdLccLLccssccLLLLLˆ)ˆ)(ˆ1()ˆ()ˆ()ˆ)(ˆ1()ˆ]([)ˆ(忽略高阶无穷小项及稳态项可以得到其小信号模型如下：RuIdiDdtudCVUduDirdtidLcLLcsccLLLˆˆˆ)1(ˆˆˆˆ)1(ˆˆ若忽略电感的内阻可得：RuIdiDdtudCVUduDdtidLcLLcsccLˆˆˆ)1(ˆˆˆˆ)1(ˆ若为电阻性负载，假设：1RCsRZ，并令DD1根据上式，我们可以画出小信号模型的电压回路及电流回路等效电路图：sVˆLLiˆcuDˆ图1电压回路等效电路LiDˆdILˆCcuˆR图2电流回路等效电路从图1和图2可以看出，两个回路有一定的关系，电压回路中，受控电压源的电流为电流回路中受控电流源电流的D1，而其电压为D倍，所以，我们可以利用一理想变压器将这两个电路连接起来，如图3所示。dILˆCcuˆRsVˆLLiˆcUdˆ1:D图3BOOST电路等效模型我们可以根据图3中所示的电路关系，来得到各个量之间关系。首先，对图3进行拉氏变换，可以得到如图4所示的s域等效电路图。)(ˆsdILCs1)(ˆsucR)(ˆsVssL)(ˆsiLcUsd)(ˆ1:D图4BOOST电路s域下的等效电路模型由于我们在小信号下建立的模型，那么在稳态时，必定满足以下关系：0)1(0)1(RUIDdtdUCVUDIrdtdILcLcscLLL可以得到稳态值：RDUIcLDIrVULLsc把上式带入到图4，并忽略电感内阻，可以得到：)(ˆ2sdRDVsCs1)(ˆsucR)(ˆsVssL)(ˆsiLcUsd)(ˆ1:D图5s域等效电路根据图5，忽略电感内阻，我们可以得到如下的传递函数。3.1电感电流Liˆ和输出电压cuˆ之间的传递函数)(sGui：0ˆ)(ˆ)(ˆ)(sLcuiVsisusGZsusdRDVsiDsuDUsdsLsicsLccL)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ2ZsuRDsisLsuDDsiDcLcL)(ˆ)](ˆ)(ˆ[)(ˆ2化简可得：0ˆ)(ˆ)(ˆ)(sLcuiVsisusG=)()(2ZRDZsLRD3.2占空比)(ˆsd和电感电流)(ˆsiL之间的传递函数)(sGid0ˆ)(ˆ)(ˆ)(VsdsisGLidDsdRDVsiDZUsdsLsisLcL))(ˆ)(ˆ()(ˆ)(ˆ2)(ˆ)()(ˆ)(2sdZDVRDVsiZsLDssL将1RCsRZ代入：0ˆ)(ˆ)(ˆ)(VsdsisGLidRDLsRLCsRCsDVs22212120ˆ)(ˆ)(ˆ)(22222222sRDLsDLCRCsRDUsRDLsDLCRDRCsDVVsdsisGcsLid得到了占空比和电感电流的关系，我们就可以设计电流环的控制器参数了。在设计完电流环之后，可以进一步设计电压环参数。