1.2有限元法的工程应用

1.2有限元法的工程应用一有限元法的求解方法与步骤有限元是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。1.1有限元的基本思想什么是离散化呢？所谓离散化是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。什么是单元和节点呢？在有限元法中，将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联接的基本构件，如杆和梁、板和壳组成，这些基本构件称为单元，单元与单元之间的联接点称为节点。1.2有限元法在结构工程中的应用根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同，常见的有以下5种：1.桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2.刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3.三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力问题和平面应变问题的有限元分析；4.三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5.等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。其特点是能简化复杂结构的单元划分工作，又能满足同样精度的要求时大大减少使用的单元数，成功地解决许多二维和三维弹性力学问题。1.3有限元法求解问题的基本步骤)11(][)()()(eeekF1.结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.求出各单元的刚度矩阵)(eK是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为)(eK)(e)(eF3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，此即为总体平衡方程。F][KF1.3有限元法求解问题的基本步骤确定总体刚度矩阵的方法有三种：1）直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法旨在简单情况下才能采用。2）集成法将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的总体刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数等于在节点i汇交的几个单元的刚度系数之和；非对角线上的刚度系数等于联结节点i与节点j间几个单元的刚度系数之和。ijK)(eijK)(eijKijK确定总体刚度矩阵的方法有三种：4.引入支撑条件，求出各节点的位移节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。5.求出各单元内的应力和应变。1.3有限元法求解问题的基本步骤1.4有限元法求解实例例1一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为和，长度分别为和，弹性模量分别为和，求出这两段的应力和应变。已知数据分别为F3=100N)1(A)2(A)1(L)2(L)1(E)2(E24)1(102mA24)2(101mAmLL1.0)2()1(MPaEE5)2()1(1096.11①2②3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)L(2)①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3解：1）离散化把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为、、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。1232）求单元刚度矩阵下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力和作用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量和与轴向力和的关系式为)(eiF)(ejF)(eiF)(ejF)(ei)(ej)21()()()()()()()(ejeieeeeiLAEF)31()()()()()()()(ejeieeeejLAEF注意在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：或简写为：)()()()()()()(1111ejeieeeejeiLAEFF)41()()()(eeeKF式中—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；—为单元节点力向量（列阵）；1111)()()()(eeeeLAEK)()()(ejeieFFF——为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；)()()(ejeie将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则)51()()()()()()(ejjejieijeiieeKKKKLEALEALEALEAK（1-5）矩阵中任意一个元素都称为单元刚度系数，它表示该单元内除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。)(eijK3)总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出该阶梯轴上三个节点位移和三个节点轴向力分别组成该整体结构节点位移向量和节点轴向力321、、321FFF、、FT321，，TFFFF321，，同理，这两向量间的转换关系可表示为或KF)61(321333231232221131211321KKKKKKKKKFFF式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。[K]中的元素称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。ijK求出总体刚度矩阵时进行总体分析的主要任务是一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵[K]的方法主要有两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；一是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。下面分别说明。根据刚度系数的定义，当本结构中的节点2和节点3位移量均为零时，要使节点1产生单位位移，在节点1处所需施加的载荷为，此即为K11；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，在节点1处所引起的载荷为，此即为K12；（1）直接法求总体刚度矩阵[K])1()1()1(LAE)1()1()1(LAE当节点1、2固定，节点3产生单位位移时，在节点1处不会引起载荷，因此K13=0；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，要在节点2施加的载荷为，此即为K22；还可以按此方法依次写出其余各总体刚度系数。)2()2()2()1()1()1(LAELAE)1()1()1(21LAEK)2()2()2(3223LAEKK)2()2()2(33LAEK因此，总体刚度矩阵为)71(00)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(LAELAELAELAELAELAELAELAEK这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。（2）用集成法求总体刚度矩阵[K]这种方法从单元刚度矩阵出发，根据迭加原理，利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。由式（1-4），当单元(e)分别为(1)和(2)时，两个单元的刚度矩阵分别为)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(LAELAELAELAELEALEALEALEAK)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(LAELAELAELAELEALEALEALEAK注意虽然结构的总变形是由两个单元变形的迭加，但是总体刚度矩阵[K]并不是两个单元刚度矩阵和的简单迭加。)1(K)2(K在进行这项工作之前，一定要分清节点的两种编码方式：一种为节点的局部编码，单元（e）的两个局部码分别为和；另一种为节点总码，即对结构中全部节点进行统一的编码。在本例中，阶梯轴的三个节点总码分别记为1、2、3。)(1e)(1e)(2e该阶梯轴两种编码的对应关系为局部码总码1223)1(1)1(2)2(1)2(2一定要注意，在单元刚度矩阵中各元素按局部码排列，而总体刚度矩阵[K]中，各元素按总码排列。)(eK集成[K]的步骤为：（1）将原单元刚度矩阵中的各系数总码进行标记，则)1(22)1(21)1(12)1(11)1(KKKKK)1()1()1()1(21)1(12)1()1()1()1(22)1(11,LAEKKLAEKK式中)2(33)2(32)2(23)2(22)2(KKKKK)2()2()2()2(32)2(23)2()2()2()2(33)2(22,LAEKKLAEKK式中（2）将角标相同的系数相加，并按总码的顺序排列，则总体刚度矩阵为)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(1100KKKKKKKKK总体刚度方程为：321)2(())2()2(())2()2(())2()2()2()2()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(32100LAELAELAELAELAELAELAELAEFFF从上式可以看出，用两种方法获得的总体刚度矩阵相同。（4）引入支撑条件，计算节点位移上式中的未知量仍不能求出，因为[K]是一个奇异矩阵，必须引入支撑条件。在本例中支撑条件是节点1的位移为零，即。这样总体平衡方程简化为321、、0132)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()1()1()1(32LAELAELAELAELAEFF将已知数值代入上面公式解得mmm63621075.0,1025.0（5）求单元中的应力及应变单元1中的应变：单元2中的应变：单元1中的应力：单元2中的应力：5)1(12)1(1025.0Ldxd5)2(23)2(105.0LdxdMPaE5.0)1()1()1(MPaE1)2()2()2(例2在光滑的水平面上有三个小车，他们彼此用四根弹簧相连，其连接方式如图1-2所示。小车1又通过弹簧k1与墙壁固连。每个小车上的作用力分别为F1、F2、F3。求每个小车的位移。解：（1）结构的离散化将每根弹簧都看成是一个单元，共有5个单元，将他们按弹簧的编号进行单元编号。三个小车处为三个节点，编码如图。从前面的例子可以看出，对固定节点若无需求出其约束力时，可不予以考虑。（2）各单元的刚度矩阵单元1：一端为固定约束，另一端节点总码为1，则单元2：两端节点总码分别为1和2，则1)1(11)1(kKK2222)2(22)2(21)2(12)2(11)2(kkkkKKKKK单元3：两端节点总码也分别为1和2，则单元4：两端节点总码分别为1和3，则