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第1页（共2页）西安电子科技大学研究生课程考试试题（答案必须写在答题纸上或在答题卡上填涂）考试科目：矩阵论课程编号：X00EE0035、X00EE1035、Z00EE1035考试日期：2015年1月15日考试时间：150分钟考试方式：（闭卷）任课教师：班号：学生姓名：学号：请注意：标注有博士生、工学硕士、工程硕士字样的题目分别由博士生、工学硕士生、工程硕士生解答，未标注的题目博士生、硕士生均应解答。博士生、硕士生题目满分均为100分。1.设𝐴∈𝑅𝑚×𝑛，其值域𝑅(𝐴)={𝐴𝑥|𝑥∈𝑅𝑛}，核空间𝑁(𝐴)={𝑥|𝐴𝑥=0,𝑥∈𝑅𝑛}，证明：（1）对于向量的加法运算及数与向量的乘法运算，𝑅(𝐴)构成实线性空间；（2）若A为幂等矩阵，𝑅(𝐴)+𝑁(𝐴)=𝑅(𝐴)⊕𝑁(𝐴)。（20分）2A.（博士生）设三维线性空间V上的线性变换T在基𝜀1,𝜀2,𝜀3下的矩阵为𝐴=[𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33]求：T在基𝜀3,𝜀2,𝜀1下的矩阵。（10分）2B.（工学硕士）设L和M都是𝐶𝑛的子空间，且𝐿⊕𝑀=𝐶𝑛，𝑃𝐿,𝑀是沿着M到L的投影算子，证明：𝑃𝐿,𝑀是𝐶𝑛的一个线性变换。（10分）2C.（工程硕士）在𝑅3中，设𝑥=(𝜀1,𝜀2,𝜀3)，定义𝑇𝑥=(2𝜀1−𝜀2,𝜀2+𝜀3,𝜀1)，求：T在基𝑒1=(1,0,0),𝑒2=(0,1,0),𝑒3=(0,0,1)下的矩阵。（10分）3.已知：A为n阶正规矩阵，𝜆是A的特征值，x是对应特征值𝜆的特征向量，证明：𝜆̅是𝐴𝐻的特征值，x是𝐴𝐻对应特征值𝜆̅的特征向量。（10分）4A.（博士生）设矩阵𝐴=[460−3−50−3−61]，求𝑒𝐴。（10分）4B.（工学硕士）设矩阵𝐴=[200120012]，求𝑒𝐴。（10分）4C.（工程硕士）设矩阵𝐴=[200011001]，求𝑒𝐴。（10分）5A.（博士生）已知矩阵𝐴=[221022212]，用Givens变换求其QR分解。（10分）第2页（共2页）5B.（工学硕士）已知矩阵𝐴=[221022212]，用Householder变换求其QR分解。（10分）5C.（工程硕士）已知矩阵𝐴=[110021101]，求Doolittle分解。（10分）6.设矩阵𝐴=[5.20.62.00.66.50.52.00.55.1]，利用盖尔圆方法估计出特征值的范围，并采用谱范数给出条件数𝑐𝑜𝑛𝑑（𝐴）的上界。（10分）7.已知矩阵A的满秩分解为𝐴=𝐹𝐺，证明：𝐺(𝑖)𝐹(1)∈𝐴{𝑖},𝑖=1,2,4。（10分）8.设矩阵𝐴=[10−110222−1453]，求𝐴+。（20分）