第5章(5.8)最大似然序列估计(MLSE)与维特比算法(VA)

《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输1275.8最大似然序列估计（MLSE）与维特比算法（VA）引言：1．最大似然函数准则—在AWGN或AGN信道上最佳接收准则。Nkikixypxp1)()(y2.最大似然序列估计准则—在ISI+AGN（AWGN）信道引入相关性信道弥散效应卷积编码器卷积计算y(t)或y由于引入相关性，似然函数与xi有关.Nkikiypp1)()(xxy映射{xi}噪声（白，非白）用K-L展开式，分解y任意正交基，分解yy(t)或ymax))((ixtyp,判发送ix.i=1,2,…,M可分解成N个独立的一维概率密度函数连乘M元{xi}发送信息符号序列统计独立噪声（非白）用K-L展开式，分解y《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输128一最佳接收准则及性能指数1．系统模型2．最佳接收准则——ML函数准则——MLSE准则求似然函数：在N维复信号空间中，利用K－L展开式，在标准正交基tfn上NkkkNtfztz1,lim特点：kr的均值与)(th所覆盖的若干连续符号（即序列Ip）有关。原因：信道)(th弥散效应使相邻符号之间引入相关性。所以：kr的统计特性与序列Ip有关。则似然函数为1(()|)(|)(|)NkkprtpprpNppIrIINknnknkkNkkhIr12121exp21g(t)c(t)接收机nIr(t)z(t)h(t)tznTthItrnn问题：在非白噪声及ISI中的最佳接收{In}kkNz,0~统计独立高斯变量,lim1tfrtrkNkkNnknknkhINr,~统计独立高斯变量式中，nknknkzhIr《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输129接收信号能量也可写成：2111|exp22nNnkkkprtIhtnTdtNprI12,,...,NrrrNr，12,,...,PIIIPI按照MLSE准则，对给定接收信号r(t),当|maxpNprI，判pI即最佳估计序列12ˆ,,...,pPIIII是取遍所有序列后使ML最大的序列。3．性能指标使似然函数|pNprI最大，等价于使积分值为最小。定义：性能指数2PnnJrtIhtnTdtI2**2RennrtdtIrthtnTdt**()()nmnmIIhtnThtmTdt故,MLSE准则等价于JPI最小。JPI可简化为：**2RennnmnmnnmJIyIIxPI最佳估计时,min)ˆ(pJI式中,dtnTthtryn)()(*为MF在nTt时输出dtnTththxn)()(*为MF(或信道)自相关函数MF输出yn相关函数xn-m《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输130注：xththt，htgtct。二．维特比算法（VA）1.性能指数NJI的递推算法设发送序列（复）12,,...,NIIINI总长度为N收：最佳估计序列12,,...,NIIINI使minJNI**1112ReminNNNnnmnnmnnmJIyIIxNI可分解为递推形式：(1)11ˆNNJI(2)111**11112**0ˆˆˆˆ()2Re()ˆˆˆˆ2Re()2Re()NNNnnnmnmnnmNNNNnNnNnNLJIyIIxIyIIxIxNI(A)证明：1111111201111ˆˆˆˆ2()()ˆˆˆˆˆˆˆNNnnNmmNnmnmNNNNnmnmNNmNmNnnNnmmnIIIIxIIxIxIIxIIx（）1ˆˆ2Re()NNnNnnNLIIxNnNnxx（自相关函数）LNnLnN（1）（2）《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输131其中，设信道(Tx+ch)的冲激响应h(t)持续时间为[0,LT]（支撑），则自相关函数（或Tx+ch＋MF的响应）持续时间为[-LT,LT]（支撑）。(A)式可表示为：12110ˆˆˆˆˆˆ()()2Re()2Re()NNNNNNNNnNnNnNLJJIyIIxIxII(A1)对子序列Ik进行估计时（换个时间下标），性能指数**111ˆˆˆˆ2RekkkknnnmnmnnmJIyIIxkI（A2）对子序列Ik+1进行估计时，性能指数：(将（A）式中N→k+1,N-1→k)12**01111111ˆˆ()()ˆˆRe2Re2knkkkknknkLkkIyIIxIxkJJJkkII(A3)或11ˆˆ()()kkkkkJJJII（性能指数增量）k值的确定：k=L,L+1,…,N最大值kmax=N,由发送序列最大长度所确定最小值kmin=L,由信道响应的长度所确定。（因为ISI覆盖了L个符号，只有在kL后，才有可能做出正确的估计）(A3)式就是性能指数的递推算法。为了从概念上更清晰地说明和简明地表达VA定义：估计序列状态121()ˆˆˆˆ{...},,1,....,kkLkLkkLIIIIkLLN个等于信道响应的长度，，，，k表示t=kT时刻，包括当前及其前列符号在内的L个符号（即ISI所覆盖的符号）估计值所有可能取值的组合。若符号为M元，则每个状态取值组合共有ML个。例如，M=2，L=2，则k共有4个取值组合。显然，正确估计只能是其中某一个。状态k中取值组合可简称为状态取值（或状态元素），用节点0表示。《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输132因此，一般讲，对长度为L的M元符号序列，每一个状态共有ML个节点。1I2Ik00000100100.110.ML个节点kk00长度为N(NL)的序列NIˆ经历了(N-L+1)个状态。1211ˆˆˆˆˆˆˆ,,...,,,...,...,NLLNLNIIIIIIIL1LN（N-L+1）个状态定义：状态转移—从一个状态k过渡到下一个状态1k，记为1,kk，将“状态k”及“状态转移1,kk”引入（A3）式，性能指数11ˆ()kkJI可改写为1111,;kkkkkkkyBPP,1,NLk(A4)上式即为性能指数递推算法简洁形式，即VA。2．Trellis图及最佳估计的几何解释。1）Trellis图由前面分析可以看出：由（A1）式计算性能指数)ˆ(NJI，并寻找其最小值，来获得对发送符号序列的最佳估计^NI的算法，等价于(A4)式的递推算法。《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输133因此，最佳估计NIˆ应满足：,1,ˆˆˆ()min{(...)}()NNNNLLNNNPPJIII为最小值（A5）或11;,1ˆˆ()minNNNNNLkkkkLPPByII（A6）或11;,1ˆ(1)ˆ()limminkNNNLkkkkLNPPByII(A7)(A7)式所表示的求最佳估计序列NIˆ的递推算法，可以用Trellis图加以几何解释。Lk1kN01,;1LLLyB01,;1kkkyB0…0000…0……………000…0000…0LLPkkP11kkPNNP图解说明：每一个状态，共有ML个节点（o）1,;1kkkyB为“分支度量（长度）”或“状态转移度量（长度）”，表示从1kk时，各节点的性能指数增量。kkP为“路径度量（长度）”。表示从初始状态L开始直到状态k，各节点性能指数的累加值。2）最佳估计的几何解释：（即，在Trellis图中，寻求最佳NIˆ的几何解释）《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输134a)最佳NIˆ由全程最短路径所确定。按（A5）式，最佳^NI等价于全程最短路径)ˆ(NNPI所连接各状态相应节点所表示的符号序列。b)求全程最短路径的方法：计算—累加—比较、取舍即：在状态转移中，累加分支长度，再比较、取舍，直到最后一个状态为止。具体地说，按（A6）（A7）式，求全程最短路径可由逐段最短路径累加来实现。即状态每转移一次，计算在新状态下各节点的累加路径，再舍去各节点中较长的路径，只保留其中最短路径（叫“幸存路径”）。各状态下的最短路径叫“局部最短路径”。这种在状态转移过程中通过计算、累加、比较、取舍方法寻求最短路径的过程延续到最后一个状态N。再比较各节点的幸存路径，即可找到全程最短路径。3）说明几点：--关于全程最短路径与局部最短路径的关系。“全程最短路径”的唯一性。当发送序列很长，N很大，全程最短路径是唯一的，它对应着最佳估计NIˆ。“局部最短路径“的分离性。局部最短路径在若干个状态转移过程中，不一定与全程最短路径相吻合，或同时存在几个相等的局部“最短”路径。因此，在若干个状态转移过程中，不一定能确定真正符合全程的最短路径。原因：信道噪声的随机性。当噪声样本序列比较短时，它的统计特性不平稳，带有较大的随机性；当噪声样本序列足够长时，它的统计特性才比较平稳。《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输135离合长度的随机性。总的来看，局部最短路径与全程最短路径“时分”、“时合”，分离或合并的长度是随机的。它取决于信道的条件、信噪比等因素。当信道条件差，或信噪比较低时，分离的长度就增加。在极端情况下，分离现象直到最终状态时，也不能消除，这时接收的错误概率比较大。全程最短路径4）估计NIˆ的具体方法：局部最短路径要实时估计，不能最终估计。在实际应用中，不可能等找出全程最短路径之后，再确定NIˆ，因为这需要庞大的存储器，而且也不满足通信实时性的要求。要截取足够长度进行估计。由于“分离现象”的存在，必须截取足够长度的接收信号序列进行估计。截取长度要固定，不宜随机。分离长度虽然是随机的，但不宜采用随机截取方式进行估计。因为随机截取进行估计将增加设备复杂性。通常，截取足够的固定长度q（“截取深度”或“判决深度”），选q5L时，一般MLSE性能损失很小3.VA小结--VA是寻求全程最佳（最短）路径的计算过程（递推算法）“最佳路径”等价于MLSE准则，或MAP准则。--更一般讲，VA是在加性无记忆噪声中估计马尔可夫链状态序列的一种递推最佳求解方法。（故也适合于Trellis码的解码）注：马氏过程：无后效应，随机过程的当前状态只与前一状态有关，而与其它时刻的状态无关。《数字通信》辅导材料第5章在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输136马氏链：状态和时间参数都是离散的马氏过程。VA的算法过程归纳如下：1)建立相应的存储单元k时间指数kkP路径长度1,;1kkkyB分支长度2)建立初始状态：k=L，计算LLP3)递推运算：计算分支长度1,;1kkkyB计算路径长1,;111kkkkkKkyBPP求最短路径（幸存路径