高一数学必修一第一章

第一章集合与函数概念1.1集合一．集合的含义⑴１到20以内的所有质数;⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．2．集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．3.常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ所有正整数组成的集合称为正整数集，记为全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．NN或*4．元素与集合之间的关系如果是集合Ａ中的元素，就说属于集合Ａ，记作；如果不是集合Ａ中的元素，就说属于集合Ａ，记作；aaAaaaAa例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝AaaAaa,7,6时当时当二．集合的几种表示方法⑴列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．(2)描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.}|{:形式如(3)-----画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示.如:集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:A12345*有限集与无限集*⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集例如:A={1~20以内所有质数}例如:B={不大于3的所有实数}1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}1.1.3集合的基本运算一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.2.交集3.并集与交集的性质ABABABBAABAABBAAAAA(5)(4)(3)(2)(1)则,BBABABABABABBAAABBAAAAAA则)5(,,)4()3()2()1(4.补集对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.{|,}UCAxxUxA记作且补集可用Venn图表示为:UCUAA定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b]ab｛x|axb｝开区间（a,b）ab｛x|a≤xb｝半开半闭区间［a,b）ab｛x|ax≤b｝半开半闭区间（a,b]ab一般地，我们有：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，xA（1）x——自变量（2）A——定义域（3）值域就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。就是用图象表示两个变量之间的对应关系。就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。一般地，我们有：设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。区间：设a,b是两个实数，且ab，规定：定义名称符号几何表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|axb}开区间(a,b){x|a≤xb}左闭右开区间[a,b){x|ax≤b}左开右闭区间(a,b]Rx≥aXax≤bXb(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,b](-∞,b)1.求函数的定义域方法:（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R（2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分母不等于0的实数的集合（3）二次根式时，则函数定义域是使根号内的式子大于0的实数的集合(4)如果f(x)是由几个数学式子构成时，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象求函数的最大(小)值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；xyOx()fx2()fxx（-∞，0]上随x的增大而减小()fx[0，+∞）上随x的增大而增大()fxxyo)(xfymnf（x1）x1x2f（x2）如果对于区间I内的任意两个值1212,,xxxx当时12()()fxfx都有那么就说在区间I上是单调增函数()yfxI称为的单调增区间()yfxf（x1）x1x2f（x2）如果对于区间I内的任意两个值1212,,xxxx当时12()()fxfx都有那么就说在区间I上是单调减函数()yfxI称为的单调减区间()yfx)x(fyOxy（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。（3）单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间1.取量定大小:2.作差定符号:3.给出结论：判断函数单调性的一般步骤：f(x1)－f(x2)的结果化积或化完全平方式的和；在给定区间上任取两个实数x1,x2,且x1x2.结论一定要指出在那个区间上。1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.3.用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称