6.5反常积分初步

§6.5反常积分初步二、无界函数的广义积分（瑕积分）常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分（无穷限积分）广义积分(反常积分))(含参量的广义积分函数函数与三、定义6.1()[,)()()[,]fxabbafxab设函数在区间上有定义，且对任意实数，在上可积，一、无穷限积分dd()lim()baabfxxfxx并且定义极限值为该无穷限积分的值，记作dlim()babfxx进一步，若极限存在，d()afxx则称无穷限积分收敛，d()[.(,))affxxxa则称符号为在无穷区间上的无穷限积分().afxdx注：若上述极限不存在，则称无穷限积分发散，这时它只是一个符号，无数值意义例1讨论下列无穷限积分的敛散性：201(1);1dxx(1)解：d2011bxx0arctanbxarctanarctan0barctanbd201lim1bbxxlimarctanbb2d2011xx收敛，d=20112xx且11(2);dxx(2)解：d11bxx1ln||bxlnln1blnbd11limbbxxlimlnbbd11xx发散。定义6.2()(,]()()[,]fxbaabfxab设函数在区间上有定义，且对任意实数，在上可积，dd()lim()bbaafxxfxx并且定义极限值为该无穷限积分的值，记作dlim()baafxx进一步，若极限存在，d()bfxx则称无穷限积分收敛，d(())(,].bfxxfxb则称符号为在无穷区间上的无穷限积分().bfxdx注：若上述极限不存在，则称无穷限积分发散，这时它只是一个符号，无数值意义例2讨论下列无穷限积分的敛散性：11(1);dxx(1)解：0(2);xedx(2)解：0xaedx0xae1ae0limxaaedxlim(1)aae10xedx收敛，=01xedx且d11axx1ln||axln1ln()aln()ad11limaaxxlimln()aad11xx发散。c-64ddd,.()(,),()(),()cfxcfxxfxxfxx定义设在内有定义，若对任意实数积分与都收敛则称无穷限积分收敛记作ddd()()().ccfxxfxxfxxd,().fxx若上式右端中只要有一个积分发散则称发散例3讨论下列无穷限积分的敛散性：2(1);xxedx解：20bxxedx2201()2bxedx2012bxe21122be20limbxbxedx211lim22bbe20xxedx1220limxaaxedx211lim22aae20xxedx122xxedx收敛，20xxedx=2xxedx且20xxedx02d()sin.xx解：d0sinbxx0cosbx1cosbd0limsinbbxxlim1cos,bb此极限不存在。d0sinxx所以发散。dsinxx从而发散。dd0sinsinxxxx：通过说明发散来说明发注1散也可。ddd00sinsinsinxxxxxx：此时是注2不成立的。收敛的广义积分具有常义积分的性质:.)()()(的敛散性相同具有与abxxfxxfbadd性质1性质2.)()()(具有相同的敛散性常数为非零与AxxfxxAfaadd性质3收敛，并且收敛，则与设aaaxxgxfxxgxxfddd)]()([)()(.)()()]()([aaaxxgxxfxxgxfddd.)()()()(),(lim)()(lim),[)()(aFFxFxxfxFFxFaxfxFaaxxd则存在，记数，且上的原函在是设性质4例4讨论下列无穷限积分的敛散性：d11(1);pxx解：1111pppdxxdxxCxp1p时11pdxx1111pxp111lim11pxxpp1p时1p时11p1p时11dxx1lnxlimlnxx1111pdxppx在时收敛，在时发散。;)(xxxd1212dd2111111xxxxxx解：1lnln(1)xxlimlnln(1)xxxln2limlnln21xxxln2;)(xeexxd132解：d21xxexexte211tdttt02011dtt0arctantlimarctantt2.)(xxexd40解：dxxex()xxed()xexd0xxex0()xxed0()xexlim()xxxe0()xelimxxxelim1xxe1小练习：1.讨论下列无穷限积分的敛散性：;cos)(0d1xx;)(1254d2xxx./)(,)(.11101022xxxxexfdxxfx其中计算.)(,;;)(:321412pKey发散定义6.7()(,]fxab设函数在区间上有定义，并且对任意的二、瑕积分0(0)()[,]bafxab，在上可积，()fxxa但在时无界，d()()()(,].baafxfxxfxab则称为的瑕点，称为在上的瑕积分dd0lim()()bbaafxxfxx若极限存在，则称瑕积分收敛，并以此极限值为其值，即dd0()lim().bbaafxxfxxd().bafxx若极限不存在，则称瑕积分发散()[,)0fxab设函数在区间上有定义，并且对任意的(0)()[,]bafxab，在上可积，()fxxb但在时无界，d()()()[,).babfxfxxfxab则称为的瑕点，称为在上的瑕积分dd0lim()()bbaafxxfxx若极限存在，则称瑕积分收敛，并以此极限值为其值，即dd0()lim().bbaafxxfxxd().bafxx若极限不存在，则称瑕积分发散例5讨论下列瑕积分的敛散性：101(1);dxx(1)解：11dxx12x22d101limxx0lim222101dxx收敛，=1012dxx且011(2);dxx(2)解：d11xx1ln||xlnln1lnd101limxx0limlnd011xx发散。()),(,cabxfxc一般地，若，并当时无界且ddd()()()cbacbafxxfxxfxx则规定两个瑕积分与，皆收称瑕积敛分时收敛，且()()().bcbaacfxdxfxdxfxdx,().bafxdx否则称瑕积分发散00lim()lim()cbacfxdxfxdx说明:若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分,而不是反常积分.例如,,sin/xxxd20注意:若瑕点()()FbFa()()FbFa()()FbFa则也有类似牛顿–莱布尼茨公式：若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则()()FbFc()()FcFa不可相消=()lim(),()lim()xbxaFbFxFaFx令()dbafxx()dbafxx()dbafxx(,),cab()dbafxx例6讨论下列瑕积分的敛散性：d1(1);()bpaxxa解：1p时，d1()bpaxxad()bpaxax1()1bpaxap11()()lim11ppxabaxapp1()1pbap1p时1p时1p时d1baxxaln||baxaln()limln||xabaxad111()bpaxppxa在时收敛，在时发散。d22031(2);(1)xx解：d12031(1)xx13031xd22131(1)xx13lim31xx303323131x313lim31xx303d22031(1)xxdd1222013311(1)(1)xxxx6;ln)(10d4xxx);()(0d13022axxaa解：d2201axaxsinxat1cosatdcosatt/20/20dt2解：d10lnxxxd10ln2xxx2lnxxd12xxx102lnxxd102xx0lim2lnxxx104x044.)(11d15xx解：d011xx01ln||x0limln||ln1xxd101xx10ln||x0ln1limln||xxd111xx发散d=11111ln||ln1ln10xxx错误!!三、Γ函数与函数定义)(1Γ函数收敛函数.1,)()(0d01txextxt性质)(2;)()()(ttt1id0(1)txtxex)d100(txtxxetxexd10txtxex()tt;)()(11iid0(1)xex0xe1).(!)()(Nnnn1iii定义)(1函数收敛函数.2,),((),(0d)1101-q1qpxxxqpp性质)(2)()()(),(qpqpqp);()(;)(:.0d2d140403xexxexxx计算下列各题例解：d30(1)xxexd410xxex)4(3!6d40(2)xxex44uueuxd1u0d4501uueu51(5)54!5241113222()(,),();解：d11122011(,)(1)22xxxd1201xxxd102111()42xxdt2211cos12cos2tt11sin22xtdt22(1/2)(1/2)(1/2,1/2)(1/21/2)21()21()2d20(4).xex解：11()22d20xexte2txdt12t0d12012ttet2