一元二次方程综合题精

第1页共6页一元二次方程根的判别、根与系数的关系专项训练1.已知关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x－2m2＋m=0（m为实数）有两个实数根1x、2x．（1）当m为何值时，12xx；（2）若22122xx，求m的值.2.已知关于x的一元二次方程22(21)0xmxm有两个实数根1x和2x．（1）求实数m的取值范围；（2）当22120xx时，求m的值．3．已知抛物线22(23).yxmxm（1）m满足什么条件时，抛物线与x轴有两个的交点；（2）若抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为12,xx，且12111xx，求m的值.第2页共6页4．已知抛物线2234yxkxk（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且1123ONOM，求k的值．5.已知关于x的方程x2+(2k－1)x+(k－2)(k+1)=0……①和kx2+2(k－2)x+k－3=0……②.⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k的值.6.已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且21x+22x=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.第3页共6页7.已知一元二次方程210xpxq的一根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：抛物线2yxpxq与x轴有两个交点；（3）设抛物线2yxpxq的顶点为M，且与x轴相交于A（1x，0）、B（2x，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．8.已知关于x的方程21(21)4()02xkxk（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实根；（2）若等腰ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。第4页共6页答案1.解：（1）△=(m－1)2－4(－2m2＋m)=m2－2m＋1＋8m2－4m=9m2－6m＋1=(3m－1)2……………………………………………3分要使x1≠x2，∴△0即△=(3m－1)20∴m≠13……………………5分另解：由x2＋(m－1)x－2m2＋m=0得x1=m，x2=1－2m要使x1≠x2，即m≠1－2m，∴m≠13.（2）∵x1=m，x2=1－2m，x12＋x22=2………………………………………………8分∴m2＋（1－2m）2=2解得121,15mm.…………………………………………………10分另解：∵x1＋x2=－(m－1),x1·x2=－2m2＋m，x12＋x22=2∴(x1＋x2)2－2x1x2=2[－(m－1)]2－2(－2m2＋m)=25m2－4m－1=0∴m1=15,m2=1.2.解：（1）由题意有22(21)40mm≥，················2分解得14m≤．即实数m的取值范围是14m≤．·······················4分（2）由22120xx得1212()()0xxxx．·················5分若120xx，即(21)0m，解得12m．················7分1124，12m不合题意，舍去．····················8分若120xx，即12xx0，由（1）知14m．故当22120xx时，14m．·······················10分4.（1）证明：△=222341()44kkk．………………2分∵k0，∴△=4k20．……………………………3分∴此抛物线与x轴总有两个交点．………………4分（2）解：方程22304xkxk的解为1322xkxk或．……………6分∵11203ONOM，∴OMON．∵k0，∴M3(,0)2k，N1(,0)2k第5页共6页∴OM=32k，ON=12k．……………………8分∴1111213322ONOMkk，解得，k=2．………………………10分6.解：（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15…………………………1当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0∴m＜-1516此时，y的图象与x轴有两个交点………………………………2当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0∴m=-1516此时，y的图象与x轴只有一个交点………………………………3当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0∴m＞-1516此时，y的图象与x∴当m＜-1516时，y的图象与x轴有两个交点；当m=-1516时，y的图象与x当m＞-1516时，y的图象与x轴没有交点.……………………4（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4………………521x+22x=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7……6∵21x+22x=5，∴2m2-10m-7=5，∴m2-5m-6=0解得：m1=6，m2=-1∵m＜-1516，∴m=-1∴y=x2+3x+2……………………………………………………………………7分令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2又y=x2+3x+2=（x+32）2-14，∴顶点M的坐标为（-32，-14设过C（0，2）与M（-32，-14）的直线解析式为y=kx+b第6页共6页k=322=b-14=32k+b，b=2∴所求的解析式为y=32x+2…………………………………………8分7.（1）解：由题意，得22210pq，即(25)qp．·····················（2分）（2）证明：∵一元二次方程20xpxq的判别式24pq，由（1）得2224(25)820(4)40ppppp，···················（3分）∴一元二次方程20xpxq有两个不相等的实根．···································（4分）∴抛物线2yxpxq与x轴有两个交点．···············································（5分）（3）解：抛物线顶点的坐标为2424pqpM，，······································（6分）∵12xx，是方程20xpxq的两个根，∴1212.xxpxxq，∴22121212||||()44ABxxxxxxpq．·····································（7分）∴222141||(4)4248AMBqpSABpqpq△，··································（8分）要使AMBS△最小，只须使24pq最小．而由（2）得224(4)4pqp，所以当4p时，有最小值4，此时AMBS△13q，．·································（9分）故抛物线的解析式为243yxx．························································（10分）解得