三角函数的诱导公式(教案)

课题：三角函数的诱导公式授课教师：吴淑群教材：苏教版数学4第1章1.2.3教学目标1.理解三角函数的诱导公式；2.能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题；目标解析1．在理解的基础上，熟记诱导公式；2．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并进行简单的三角变换；3．经历由几何特征（终边的对称）到发现数量关系（诱导公式）的探索过程；4．从公式推导和运用的过程中，体会数形结合、转化与化归等思想方法；5．初步体会三角函数和周期性变化的内在联系；教学重点、难点重点：四组诱导公式的推导、记忆和运用。难点：诱导公式推导过程中数形关系的转换；符号的判断。教学方法与教学手段探究教学法、多媒体辅助教学。教学过程一、创设情景先行组织者师：我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？今天，我们仅就上述问题做一个初步的探讨。二、建构数学1．终边相同的角的三角函数（1）提出问题（展示课件）已知任意．．角，观察角的终边绕着原点逆时针旋转的过程。问题1：在上述变化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？（2）解决问题（根据学生回答的情况，视机提出下列提示性问题）问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗？三角函数值会重复出现吗？问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现？什么时候三角函数值会重复出现？要求学生把分析的结论用数学等式表示出来：)(tan)2tan()(cos)2cos()(sin)2sin(ZkkZkkZkk问题1-3：角与角k2)(Zk的三角函数值为什么相等呢？（让学生回到定义去解决问题）（3）小结：回顾解决问题的思路，得到下面的框图（4）应用练习求值：（1）49sin；（2）cos（－690°）.指出：利用这组公式，我们可以把任意角的三角函数值转化成我们熟悉的2~0角的三角函数值。（出示框图）2．角与角的三角函数的关系（1）提出问题问题2：若角终边绕原点逆时针旋转半周，它的三角函数值是否也会重复出现呢？（2）解决问题●角与角的终边具有什么样的位置关系？●相应地，角与角的终边上点的坐标具有什么关系？●（进而有）角与角的三角函数值有什么关系？讨论得：tan)tan(cos)cos(sin)sin(（3）小结回顾解决问题的思路，得到下面的框图（4）应用任意角的三角函数2~0角的三角函数公式角之间的数量关系与)(2Zkk（数量关系）终边位置重合（形的关系）终边上（对应）点的坐标),(),(yxPyxP和（数量关系）三角函数值间的关系)(tan)2tan()(cos)2cos()(sin)2sin(ZkkZkkZkk（数量关系）诱导公式练习求值：（1）;67sin（2）.225tan指出：这组公式揭示了角与角间的关系，因而利用这组公式我们可以将2~角的三角函数转化成~0的三角函数。3．角与－的三角函数的关系角与角的三角函数的关系（1）提出问题终边还有哪些特殊位置关系值得我们研究？(学生探究活动)问题3：终边关于x轴对称的角与角的三角函数有什么样的关系？终边关于y轴对称的角与角的三角函数又有什么样的关系呢？（2）解决问题（学生分组在事先备好的单位圆中研究，交流研究思路）tan)tan(cos)cos(sin)sin(教师小结研究思路并指出：利用这组公式可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值。sinsincoscostantan角之间的数量关系＋与（数量关系）终边对称于原点（形的关系）终边上（对应）点的坐标间的关系),('yxP和),(yxP（数量关系）三角函数值间的关系（数量关系）tan)tan(cos)cos(sin)sin(负角的三角函数正角三角函数公式公式2~的三角函数~0的三角函数形成如下框图（逐步完成）讨论：具有什么样数量关系的两个角的终边才会对称于y轴呢？得公式tan)tan(cos)cos(sin)sin(（3）小结根据研究思路将上面的框图补成下图思考：根据第二、三组公式能否推导第四组公式？根据这三组公式中任两组公式是否都能推导出另外一组公式呢？（课后研究）（4）应用练习求值：（1）32cos；（2）135tan.指出：利用这组公式，我们可以将~2的三角函数化成锐角三角函数。4.揭示课题我们把这四组公式总称为诱导公式。（板书课题：1.2.3三角函数的诱导公式）。它揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数值之间的关系。π/2—π的三角函数锐角三角函数公式角之间的数量关系（如：与）（数量关系）终边位置的对称关系：…（形的关系）终边上（对应）点的坐标间的关系…（数量关系）三角函数值间的关系（数量关系）终边位置的对称关系（形的关系）终边上（对应）点的坐标间的关系（数的关系）三角函数值间的关系（数的关系）（和同角三角函数关系式不同，诱导公式反映了具有特定关系的两个角之间的三角函数值之间的关系。）三、数学运用1.将任意角三角函数转化成锐角三角函数例求值：（1）)sin(750；（2）411cos；（3）)1560tan(.思考：运用公式将任意角三角函数转化成锐角三角函数的一般步骤？讨论得到如下程序：解题过程实际上是一个不断转化与化归的过程。2.练习（1）、求值：①;45cos).316tan(②（2）、化简：)tan()2cos()(sin3（学生练习后，投影点评）四、回顾反思（学生总结，教师提炼）（课件展示）归纳小结（1）三角函数诱导公式的推导。公式的实质是将终边对称的图形关系翻译成三角函数之间的代数关系。其思路为：角的数量关系→终边位置的对称关系→终边上点的坐标关系→三角函数间的关系。（对照框图）（2）三角函数诱导公式的运用（求值、化简等）。（3）数学思想方法：数形结合、转化与化归。任意负角的三角函数三角函数的角的2~0锐角三角函数正角的三角函数角之间的数量关系（数量关系）终边位置的对称关系：（形的关系）终边上（对应）点的坐标间的关系…（数量关系）三角函数值间的关系（数量关系）五、布置作业必做题：书本第23页13、14题。思考题：1、下列函数为奇函数的是。（1）xxf2cos)(（2）xxxfsin)(（3）xxxftan)(2、已知，则＝。板书设计：1.2.3三角函数的诱导公式例题解答终边相同)(tan)2tan()(cos)2cos()(sin)2sin(ZkkZkkZkk终边关于原点对称tan)tan(cos)cos(sin)sin(终边关于x轴对称tan)tan(cos)cos(sin)sin(终边关于y轴对称tan)tan(cos)cos(sin)sin(51)3cos(x)32cos(x教学设计说明本节课是在学生学习了三角函数的定义、单位圆中的三角函数线、同角三角函数关系式后安排的一节内容。本节课的任务是借助单位圆，推导出正弦、余弦、正切的诱导公式，为研究三角函数的图象和性质做准备，并能正确运用四组诱导公式求三角函数值和化简三角函数式，通过公式的推导和应用，渗透数形结合、转化与化归的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力。四组诱导公式的推导及应用是本课的重点，而公式的推导、记忆是本课的难点。为此，在教学设计上我做了一些思考：1.充分体现实验教材对《三角函数》教学的定位。在传统的教材中，三角函数主要被看成是一种重要的数学工具，三角计算、三角变换、解三角形被看成是三角学习的主要内容，诱导公式的学习更是为三角函数的变换和求值服务的。因此，如何将任意角三角函数化成锐角三角函数成为诱导公式学习的主线和重点，可是这一切在实验教材中已经发生了根本的变化。在课程标准中，三角函数被看成“刻画现实世界中周期性变化的数学模型”，因此，我认为，在本节课中，必须把对诱导公式的学习放在“建构和研究刻画周期性的数学模型”这个大背景下进行，从整体上突出三角函数是周期性函数的本质。为此，在本教学设计中，我做了多方面的努力，不仅在课题的引入上，还是在课的进程中，都注意到了诱导公式和三角函数及其概念原型（周期运动）的联系，和周而复始现象的关系，为后面的学习提供基础。2.重视公式推导过程的设计。新课标强调：“要重视数学知识的发生、发展过程的教学”。三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此考虑从终边的位置关系提出问题，通过思考问题、解决问题的过程，让学生经历由几何直观发现数量关系的学习过程，体验如何把角的终边具有的特定位置关系转化为三角函数值之间的关系。3.重视学生的主体地位。发挥学生学习数学的能动性和创造性，教学过程中让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，培养学生勇于探究，积极思考的学习精神及运用数形结合、转化与化归思想解决数学问题的能力。教师在课堂教学中仅仅是数学活动的引导者、组织者。4．重视数学运用。应该指出的是，尽管新课标降低了对三角变换的要求，但是将任意角三角函数化成锐角三角函数等简单的三角变换仍然是学生必须掌握的重要技能。因此，在本节课的教学中在突出公式推导过程的教育价值的同时，注意技能训练的落实。把技能训练融入思维训练之中。注意围绕着教学的重点、难点选取具有代表性的例题、习题和课后作业，提高课堂教学的效率。