二次函数中的面积计算问题

(D)二次函数中的面积计算问题[典型例题]例.如图，二次函数2yxbxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线2x，点P是抛物线上位于,AC两点之间的一个动点，则PAC的面积的最大值为（C）A．274B．112C．278D．3二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规则三角形面积运用S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1.如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（B）例2.解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.第10题xyABCOM图1BC铅垂高水平宽ha图2AxCOyABD11图1思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)2＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a＝－1，∴抛物线的解析式为y1＝－(x－1)2＋4，即y1＝－x2＋2x＋3．设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，由y1＝－x2＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b，解得k＝－1，b＝3．∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3．（2）∵C(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．S△CAB＝21×3×2＝3(平方单位)．（3）解：存在．设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h．则h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x2＋3x由S△PAB＝89S△CAB得：21×3×(－x2＋3x)＝89×3．整理得4x2－12x＋9＝0，解得x＝23．把x＝23代入y1＝－x2＋2x＋3，得y1＝415．∴P点的坐标为(23，415)．例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．xCOyABD11图2P-3BAxyO2-1-112345-21345思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）．∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)将D（0，4）代入上式，解得a＝－21．∴该抛物线的解析式为y＝－21(x＋2)(x－4)即y＝－21x2＋x＋4．（2）∵y＝－21x2＋x＋4＝－21(x－1)2＋29．∴抛物线的顶点P的坐标为（1，29）．过点P作PE⊥y轴于点E，如图．则S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA＝21×(1＋4)×29－21×4×2－21×(29－2)×1＝6．（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．则S△MBC＝21|y|×6＝S△PAB＝6即21|y|×6＝6，∴y＝±2．当y＝2时，－21(x－1)2＋29＝2，解得x＝51；当y＝－2时，－21(x－1)2＋29＝－2，解得x＝131．∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：M1（51＋，2），M2（51－，2），M3（131＋，－2），M4（131－，－2）．例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，-3BAxyO2-1-112345-21345PEBAyOPECx∴a＝－21．∴抛物线的解析式为y＝－21(x＋2)(x－4)，即y＝－21x2＋x＋4（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图．∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．∴COEG＝ABBP，∴4EG＝62m＋，∴EG＝34m2＋∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE＝21BP·CO－21BP·EG＝21(m＋2)(4－34m2＋)＝－31(m－1)2＋3又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．此时点P的坐标为（1，0）（3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，11－)，Q4(1，194＋)，Q5(1，194－)设点Q的坐标为（1，n）．∵B（－2，0），C（0，4），∴BC2＝(－2)2＋42＝20．①当QB＝QC时，则QB2＝QC2．即(－2－1)2＋y2＝(－1)2＋(4－y)2，∴y＝1．∴Q1(1，1)②当BC＝BQ时，则BQ2＝BC2．即(－2－1)2＋y2＝20，∴y＝11．∴Q2(1，11)，Q3(1，11－)．③当QC＝BC时，则QC2＝BC2．即12＋(4－y)2＝20，∴y＝194．∴Q4(1，194＋)，Q5(1，194－)．例5．如图1，抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y＝x2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．BAyOPECxGBAyOCxQ1Q2Q4Q3Q5解：（1）－3，（－1，0），（3，0）；（2）连结OM，如图1．∵y＝x2－2x＋k＝(x－1)2－4∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）．S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB＝21×1×3＋21×3×1＋21×3×4＝9说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和．（3）设D（m，m2－2m－3），连结OD，如图2．则0＜m＜3，m2－2m－3＜0．S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△DOB＝21×1×3＋21×3×m＋21×3×[－(m2－2m－3)]＝－23m2＋29m＋6＝－23(m－23)2＋875．当m＝23时，四边形ABDC的面积最大．此时m2－2m－3＝(23)2－2×23－3＝－415．∴存在点D（23，－415），使四边形ABDC的面积最大．（4）有两种情况：如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为y＝－x＋3．令－x＋3＝x2－2x－3，解得5211＝－＝yx，0322＝＝yx∴点Q1的坐标为（－2，5）．如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，yxBAOC图1yxBAOC图2yxBAOC图3yxBAOC图1MyxBAOC图2DyxBAOC图3Q1EyxBAOC图4FQ2连接BQ2．∵∠CBO＝45°，∴∠CFB＝45°，∴OF＝OC＝3．∴点F的坐标为（－3，0）．∴直线CF的解析式为y＝－x－3．令－x－3＝x2－2x－3，解得4111＝－＝yx，3022＝－＝yx∴点Q2的坐标为（1，－4）．综上所述，在抛物线y＝x2－2x－3上，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．[精选练习]1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图像大致为（）2．如图，已知A、B是反比例函数kyx（k＞0，x＜0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C。过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N。设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(第3题)ABCDA．B．OtSOtSOtSOtSC．D．ABCNOMPxy（第2题图）4.如图，两条抛物线y1=-21χ2+1、y2=21χ2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为5．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．6.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．AxyBOOBACyx7．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．（1）求此抛物线的解析式．（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．8．已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．