一元二次方程知识点与考点

1一元二次方程复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax例1、当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。练习：1、若方程021mxm是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。2、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是.考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则m的值为。练习：1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为，另一根是。2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2。24、已知a是0132xx的根，则aa622。5、方程02acxcbxba的一个根为（）A1B1CcbDa6、若yx则yx324,0352。考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：对于以下等形式均适用直接开方法①2(0)xaa解为：xa②2()(0)xabb解为：xab③2()(0)axbcc解为：axbc④22()()()axbcxdac解为：()axbcxd例1、解方程：216251x=0;;09122x例2、若2221619xx，则x的值为。类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或方法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如20(,0)()0axbxabxaxb，cxaxbxax0222aaxx，22nbxmax，24120(6)(2)0xxxx225120(23)(4)0xxxx例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx，则4x+y的值为。3变式1：2222222,06b则ababa。变式2：若032yxyx，则x+y的值为。变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为。例3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例4、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为。练习：1、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或22、方程：2122xx的解是。3、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。4、方程012000199819992xx的较大根为a，方程01200820072xx的较小根为b，则a-b的值为。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx在解方程中,常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022PPxPxqxq示例：22233310()()1022xxx②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220(0)()0()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa4222224()()2424bbbbacaxcxaaaa示例：22221111210(4)10(2)2102222xxxxx备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a且b为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。例1、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例2、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例3、分解因式：31242xx练习：1、已知041122xxxx，则xx1.2、若912322xxt，则t的最大值为，最小值为。3、如果4122411bacba,那么cba32的值为。类型四、公式法⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且注意：所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx5类型五、“降次思想”的应用看方程中,,abc是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：如：210100500xx（同除于10）21050xx这样更加方便计算。)21130244xx（同乘于4，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）2230xx运用：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。例1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。例4、用两种不同的方法解方程组)2(.065)1(,6222yxyxyx说明：解二元二次方程组de方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。类型六、换元法例：222()5()60xxxx解：令2yxx则原方程可化为：2560yy解得：12y23y①当22xx时，求得：121,2xx②当23xx时，求得：3,41132x（原方程共有4个解）练习：221211xxxx考点四、根的判别式△=acb42作用：①定根的个数；②求待定系数的值；例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。6例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.练习：1、当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.考点五、方程类问题中的“分类讨论”例1、关于x的方程03212mxxm⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程3222kkxx根的情况。例3、如果关于x的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。7考点六、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。常用变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx等例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6例2、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例4、已知,是方程012xx的两个根，那么34.练习：1．已知472aa，472bb)(ba，求baab的值。82.已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。练习：【练习1】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．【练习2】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．【练习3】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．考点七、应用解答题⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？2、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？3、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.