2006年考研数学一真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1111）0ln(1)lim1cosxxxx→+=−2.【分析】本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx→→+⋅==−.（2222）微分方程(1)yxyx−′=的通解是e(0).xyCxx−=≠【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d11dyxyx⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，两边积分得1lnlnyxxC=−+，整理得exyCx−=.（1eCC=）（3333）设Σ是锥面22(01)zxyz=+≤≤的下侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxyΣ++−=∫∫2π.【分析】本题Σ不是封闭曲面，首先想到加一曲面1Σ：2211zxy=⎧⎨+≤⎩，取上侧，使1Σ+Σ构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设1Σ：221(1)zxy=+≤，取上侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxyΣ++−∫∫11dd2dd3(1)dddd2dd3(1)ddxyzyzxzxyxyzyzxzxyΣ+ΣΣ=++−−++−∫∫∫∫.而1dd2dd3(1)ddxyzyzxzxyΣ+Σ++−∫∫＝211006d6ddd2rVvrrzπθπ==∫∫∫∫∫∫，1dd2dd3(1)dd0xyzyzxzxyΣ++−=∫∫.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(1)dd2xyzyzxzxyπΣ++−=∫∫.（4444）点(2,1,0)到平面3450xyz++=的距离d=2.【分析】本题直接利用点到平面距离公式000222AxByCzDdABC+++=++进行计算即可.其中000(,,)xyz为点的坐标，0AxByCzD+++=为平面方程.【详解】2223241502345d×+×+×==++.（5555）设矩阵2112A⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE=+，则=B2.【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BAEE−=于是有4BAE−=，而11211AE−==−，所以2B=.（6666）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max,1PXY≤=19.【分析】利用XY与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，XY与具有相同的概率密度1,3()30,xfx⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩　　0　　　其他.则{}{}{}max,11,1PXYPXY≤=≤≤{}{}11PXPY=≤≤{}()2120111d39PXx⎛⎞=≤==⎜⎟⎝⎠∫.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则{}{}{}1max,11,19SPXYPXYS≤=≤≤==阴.二、选择题：7777－14141414小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7777）设函数()yfx=具有二阶导数，且()0,()0fxfx′′′，x∆为自变量x在点0x处的增量，dyy∆与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x∆，则(A)0dyy∆.(B)0dyy∆.(C)d0yy∆.(D)d0yy∆.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0fxfx′′′知，函数()fx单调增加，曲线()yfx=凹向，作函数()yfx=的图形如右图所示，显然当0x∆时，00d()d()0yyfxxfxx′′∆==∆，故应选(Ａ).（8888）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrrπθθθ∫∫等于（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy−∫∫.（B）221200d(,)dxxfxyy−∫∫.(C)22120d(,)dyyyfxyx−∫∫.(D)221200d(,)dyyfxyx−∫∫.[Ｃ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(,)dyyyfxyx−=∫∫.故选（Ｃ）.（9999）若级数1nna∞=∑收敛，则级数(A)1nna∞=∑收敛.（B）1(1)nnna∞=−∑收敛.(C)11nnnaa∞+=∑收敛.(D)112nnnaa∞+=+∑收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由1nna∞=∑收敛知11nna∞+=∑收敛，所以级数112nnnaa∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取1(1)nnan=−，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取1(1)nnan=−，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10101010）设(,)(,)fxyxyϕ与均为可微函数，且(,)0yxyϕ′≠，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xyϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy′=，则00(,)0yfxy′=.(B)若00(,)0xfxy′=，则00(,)0yfxy′≠.(C)若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′=.(D)若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′≠.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxyλλϕ=+在000(,,)xyλ（0λ是对应00,xy的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxyλλϕ=+，并记对应00,xy的参数λ的值为0λ，则您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问(,,)0(,,)0xyFxyFxyλλ⎧′=⎪⎨′=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxyλϕλϕ⎧′′+=⎪⎨′′+=⎪⎩.消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxyϕϕ′′′′−=,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxyϕϕ′′′=′.（因为(,)0yxyϕ′≠），若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′≠.故选（Ｄ）.（11111111）设12,,,sααα⋯均为n维列向量，A为mn×矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,sααα⋯线性相关，则12,,,sAAAααα⋯线性相关.(B)若12,,,sααα⋯线性相关，则12,,,sAAAααα⋯线性无关.(C)若12,,,sααα⋯线性无关，则12,,,sAAAααα⋯线性相关.(D)若12,,,sααα⋯线性无关，则12,,,sAAAααα⋯线性无关.[C]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,,,)sBααα=⋯，则12(,,,)sAAAABααα=⋯.所以，若向量组12,,,sααα⋯线性相关，则()rBs，从而()()rABrBs≤，向量组12,,,sAAAααα⋯也线性相关，故应选(Ａ).（12121212）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1−倍加到第2列得C，记110010001P⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则（Ａ）1CPAP−=.（Ｂ）1CPAP−=.（Ｃ）TCPAP=.（Ｄ）TCPAP=.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠　　　，而1110010001P−−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则有1CPAP−=.故应选（Ｂ）.（13131313）设,AB为随机事件，且()0,(|)1PBPAB=，则必有(A)()()PABPA∪(B)()()PABPB∪(C)()()PABPA∪=(D)()()PABPB∪=[B]【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】由题设，知()(|)1()PABPABPB==，即()()PABPA=.又()()()()()PABPAPBPABPA∪=+−=.故应选(Ｃ).（14141414）设随机变量X服从正态分布211(,)Nµσ，Y服从正态分布222(,)Nµσ，且{}{}1211PXPYµµ−−则必有(A)12σσ(B)12σσ(C)12µµ(D)12µµ[D]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211XYPPµµσσσσ⎧−⎫⎧−⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则12112121σσ⎛⎞⎛⎞Φ−Φ−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，即1211σσ⎛⎞⎛⎞ΦΦ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.其中()xΦ是标准正态分布的分布函数.又()xΦ是单调不减函数，则1211σσ，即12σσ.故选(A).您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0Dxyxyx=+≤≥，计算二重积分221dd.1Dxyxyxy+++∫∫【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称，函数221(,)1fxyxy=++是变量y的偶函数，函数22(,)1xygxyxy=++是变量y的奇函数.则112222220011ln2dd2dd2dd1112DDrxyxyrxyxyrππθ===+++++∫∫∫∫∫∫22dd01Dxyxyxy=++∫∫，故22222211ln2dddddd1112DDDxyxyxyxyxyxyxyxyπ+=+=++++++∫∫∫∫∫∫.（16）（本题满分12分）设数列{}nx满足110,sin(1,2,)nnxxxnπ+==⋯（Ⅰ）证明limnnx→∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211limnxnnnxx+→∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10xπ，则210sin1xxπ=≤.可推得10sin1,1,2,nnxxnπ+=≤=⋯，则数列{}nx有界.于是1sin1nnnnxxxx+=，（因当0sinxxx时，），则有1nnxx+，可见数列{}nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx→∞存在.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问→∞=，在1sinnnxx+=两边令n→∞，得sinll=，解得0l=，即lim0nnx→∞=.（Ⅱ）因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx+→∞→∞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令