风险管理-第11.1章-相关系数和Copula函数

10.1金融风险管理第十一章相关性和Copula函数10.2本章主要内容相关系数定义相关系数估计多元正态分布Copula函数Copula函数应用于贷款组合10.3相关系数和协方差变量V1和V2的相关系数定义为：协方差Cov(V1,V2)=E(V1V2)−E(V1)E(V2)01-1)()()()()(212121；；【特殊情形】VSDVSDVEVEVVE10.4独立性如果两个变量V1、V2，其中任意一个变量的信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量就是独立的，即其中，f(.)代表变量的概率密度函数)()(212VfxVVf10.5独立性不等同于不相关假设V1=–1,0,或者+1(等可能性的)如果V1=-1或者V1=+1那么V2=1如果V1=0那么V2=0显然V2的值取决于V1(反之亦然)但是这两个变量的相关系数却为0下面的图11-1描述相关关系10.6扫描10-110.710.811.2.1采用EWMA模型第10章：用EWMA模型预测方差本节：用EWMA模型预测协方差..111)1(covcovnnnnyx10.9....时特别地，当covcov模型GARCH(1,1)比如平。以及预测未来协方差水协方差模型也可以被用来更新GARCH模型GARCH11.2.2111yxyxnnnn正定性不满足，否则差的方法必须保持一致【注】计算协方差和方0),,,(),,,()Z(VaR故：,,),,,(定性性质：协方差矩阵的正)var(,),,cov(),,cov(),cov(,),var(),,cov(),cov(,),,cov(),(var协方差矩阵：协方差的一致性条件3.2.112121212122112122121211TnnTnnnnnnnnn19.09.09.0109.001;)1,1,1(Tw11.3多元正态分布222112222121)())((2)()1(212212121211,~|),(121),(，其联合分布密度为1其中，),,,,(服从二元正态分布),(随机向量12222212121212xNVVVCoveyxfNVVxVxxxx)-(B)(212/12/2121T2121,...,2,1,,T21T1-T||)2(1),...,,(密度函数满足：元正态分布，如果其是),...,,(我们称EEE,X记：)())((其协方差矩阵为元随机变量，是),...,,(设AXAXnnnnnnjijineBxxxfnVVVVVVVAxxxbEVVEVVEBnVVVV10.14多元正态分布处理上相对简便方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差和相关系数为了满足内部一致性的条件，方差-协方差矩阵必须是半正定的基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正态分布的随机样本间接构造随机数分解法Cholesky以上被称为,1其中;多元标准正态分布：)3(分布是相互独立的标准正态,其中1及二元标准正态分布：(2)]1,0[~,6数：一元标准正态分布随机)1(1121i21221211121ikijjkikikikkikikiiiaaazazzzzzRR10.16因子模型单因子模型：若{Ui,i=1,2,…N}满足标准正态分布，则共同因子F和特殊因子Zi均服从从标准正态分布且相互独立变量Ui和Uj的相关系数是aiajM个因子模型iiiiZaFaU21MmjmimjiNMiiMiMiMiiaaUUZZFFZaaFaFaU11122111的相关系数为与正态分布相互独立，都服从标准,...,,,...,...1...10.1711.4Copula函数已知联合分布可以确定边缘分布。当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计他的联合分布？Copula函数方法提供了一个估计联合分布的方法基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上，通过随机变量的替换反推出未知联合分布。10.18高斯Copula函数模型:用于对不服从正态分布的变量生成相关结构假设我们想对变量V1、V2定义一个相关结构，但V1、V2不服从正态分布我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的一一映射变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2上变量U1、U2服从二元正态分布10.1910.2010.21计算联合累积分布的例子变量V1、V2同时小于0.2的概率同变量U1−0.84且U2−1.41的概率相同当Copula相关系数等于0.5时，也就是F(−0.84,−1.41,0.5)=0.043其中，F为二元正态分布函数10.2210.2310.2410.25二元学生t-分布比二元正态分布尾部价值更高(1)5000个抽样，相关系数均为0.5，学生t-分布自由度为4(2)正态分布价值大于2.33或小于-2.33的抽样值定义为尾部价值(3)学生t-分布价值大于3.75或小于-3.75的抽样定义为尾部价值10.2611.4.4多元Copula函数类似的，我们可以定义多个变量V1,V2,…Vn之间的相关结构在分位数与分位数对应映射的条件下，把变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布的变量Ui上变量Ui服从多元正态分布10.2711.4.5因子Copula函数多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui,单因子模型中共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分布且相互独立变量Ui和Uj的相关系数是aiajF和Zi也可以假设服从其他分布iiiiZaFaU2110.28信贷违约相关系数两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡量这两个公司同时违约的倾向在风险管理上，违约相关系数对于分析信贷风险多样化是非常重要的违约相关系数对于某些信贷衍生品的估值也是大有用处的扫描p17711.5将Copula函数应用于贷款组合我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量Ui，并且假设其中F和Zi服从正态分布，并且相互独立.F解释为宏观经济指数定义Qi为Ti的累积概率分布PD=P(UiU)=P(TiT)whenN(U)=Qi(T)iiiiZaFaU21贷款组合模型相关系数Copula为其中1)()(P对于所有的公司都相同s'和s'假设1)()(P因此1)(P1212FTQNNFTTaQaFaTQNNFTTaFaUNFUUiiiiiiii观察违约概率：(1)当F(宏观经济指数)增加时，以上概率减小(2)当F服从标准正态，则FN-1(Y)的概率是Y，此时违约概率率大于的概率为Y贷款违约模型10.3410.35扫描11.5.1节10.37扫描11.5.2节10.3810.39作业题11.111.511.611.14