菱形的性质及其判定

1/13乐恩特教育个性化教学辅导教案校区：百花授课教师王宁波日期2014.8时间8：00~10:00学生李延泽年级初三科目数学课题菱形的性质及其判定教学目标要求教学重难点分析重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视教学过程知识回顾1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．讲授新课1、叫菱形2、菱形的性质1)边2/132）角3）对角线4）对称性1、探究菱形的面积计算方法：练一练：1、菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）A.6cmB.1.5cmC.3cmD.0.75cm2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75°B.60°C.45°D.30°3、菱形的边长是2cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（）A.4cmB.3cmC.2cmD.23cm精讲精练例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，求菱形ABCD的高DH.3/13变式：菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB。（1）求证：APDEBC;(2)若60DAB,试问：P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的14？为什么？例3：如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，120BAD,P点在BD上，求PE+PC的最小值。三、用中学习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等4/132.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=21∠BAC，则菱形的四个内角的度数为_______.3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20cm,则它的一组对边的距离等于__________cm,它的面积等于________cm2.4.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm25.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1236.下列语句中，错误的是（）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到7.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是，最大值是。9、如图，在菱形ABCD中，110A，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，求FPC的度数。5/131、根据菱形的定义，你怎样判定一个四边形是菱形？2、用几何语言叙述：【探究二】菱形的判定方法二：1、若一个四边形的四边相等，你能判定它为菱形吗？说说你的理由。2、归纳：3、用几何语言叙述：【探究三】菱形的判定方法三：1、如图，在ABCD中，ACBD于O，则四边形ABCD为菱形吗？请证明。2、归纳：3、用几何语言叙述：小结：菱形的判定方法，判定时要注意的问题。练一练：6/131、下列命题是真命题的有A.两组邻边分别相等的四边形是菱形.B.一角为60°的平行四边形是菱形.C.对角线互相垂直的四边形是菱形.D.菱形的对角线互相垂直平分.2.下列条件中，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．ABCD中，AB=BCB．ABCD中，AC⊥BDC．ABCD中，AC=BDD．ABCD中，AC平分∠BAD3、四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．∠A=∠C，∠B=∠D，∠OAB=∠OADC．OA=OC，OB=OD，AC⊥BDD．AB=BC=CD=DA精讲精练例1：AD是ABC的角平分线，DE//AC，DF//AB。求证：四边形AEDF是菱形。例2：（2007山东青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论ABCABCDEFD′7/13例3：变式.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？三、用中学习1、若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a时，如图，其他三边长为________；周长为________.2、E、F、G、H分别是矩形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是菱形。3、如图，ABC中，AB=AC，AD是A的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。4、（2009齐齐哈尔）如图，边长为1的菱形ABCD中，60DAB°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形11ACCD，使160DAC°；连结1AC，再以1AC为边作第三个8/13菱形122ACCD，使2160DAC°；……，按此规律所作的第n个菱形的边长为___________．归纳小结课后作业1下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2下列命题中错误．．的是（）Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ｃ．矩形的对角线相等Ｄ．对角线相等的四边形是矩形3如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①ACBD②90BAD③ABBC④ACBDA．①③B．②③C．③④D．①②③4菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cmB．4cm和83cmC．8cm和83cmD．4cm和43cmC1D1D2C2DCABABCD9/135如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．32B．33C．34D．36如上图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立．．．的是（）A.DEDAB.CEBDC.90EAC°D.EABC27如上图，在菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点OE，为AB的中点，且OEa，则菱形ABCD的周长为（）A．16aB．12aC．8aD．4a8如图，菱形ABCD的边长为2，45ABC，则点D的坐标为．9菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cmAB．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．10已知菱形ABCD的面积是212cm，对角线4ACcm，则菱形的边长是cm11如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.FADEBCABCDEODCBOAEO(B)ADxyCADCEB10/1312如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F，连接CE,已知CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是cm13如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．14如图，菱形ABCD中，O是对角线ACBD，的交点，5cmAB，4cmAO，则BDcm．15如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）15题图16题图16如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）17菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．18在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．19请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）CAFDEBGFADOEBC11/1320如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．21如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想22已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．23如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．24已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角321ABCDEF12/13形．25如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，．（1）求证：BOEDOF△≌△；（2）当EF与AC满足什么关系时，以AECF，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．26如图，四边形ABCD中，ABCD∥，AC平分BAD，CEAD∥交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断ABC△的形状，并说明理由．27如图8，在ABCD中，EF，分别为边ABCD，的中点，连接DEBFBD，，．（1）求证：ADECBF△≌△．（5分）（2）若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）FDOCBEAABCDEF13/1328如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗?签字教学组长：学生/家长：GBCADEF