南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3.2-柯西积分定理

1第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理§3.2柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数2第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理(?)GGyxyvxuiyxyuxvdddd)()(ΓΓΓyuxviyvxuzzf)dd()dd(d)(证明Green公式.0CR方程D(?)Green公式CR方程证明ΓΓΓyuxviyvxuzzf)dd()dd(d)(GGyxyvxuiyxyuxvdddd)()(.0一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。.0d)(Γzzf则有GGP60定理3.23第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理注(1)定理中的曲线G可以不是简单闭曲线。(2)定理中的条件还可以进一步减弱。定理设单连域D的边界为C，函数f(z)在D内解析，.0d)(Czzf则有CDCDD在上连续，D一、柯西基本定理定理设函数f(z)在单连通域D内解析，G为D内的任意一条简单闭曲线，.0d)(Γzzf则有GGP60[注]4第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理二、闭路变形原理将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域D的边界为(如图)，21CCC函数在D内解析，在C上连续，)(zfCzzf0d)(.d)(d)(12CCzzfzzf或1C2CDab证明如图，作线段ab，则二连域D变为单连域，,0d)(d)(baabzzfzzf由,0d)(d)(d)(d)(21baCabCzzfzzfzzfzzf,0d)(d)(21CCzzfzzfCzzf0d)(.d)(d)(12CCzzfzzf或则从而有P61定理3.45第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理D1C2C在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理闭路变形原理如图，设在D内解析，在边界上连续，21CCC)(zfG为D内的一条“闭曲线”，.d)(d)(d)(12CCΓzzfzzfzzf则ΓP626第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理DrCG解如图以为圆心r为半径作圆，0z则函数在nzzzf)(1)(0因此有ΓnzzzI)(d0Cnzzz)(d0当时，1n,2iπ当时。1n,0上解析，CΓDD0z▲重要7第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理三、复合闭路定理将柯西积分定理推广到多连域Czzf0d)(函数在D内解析，)(zf.d)(d)(d)(d)(021CCCCnzzfzzfzzfzzf或设多连域D的边界为(如图)，定理nCCCCC210DC1C2C0C3Cn…在C上连续，则证明(略)P62推论8第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理令解,12)(2zzzzf则,111)(zzzf.1,0z奇点为21|3|z(1)当C为时，.0d122CzzzzIC;21|3|z.112222yx(1)(2),d122CzzzzI其中C为：例计算C3210P62例3.7修改9第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理令解C1C2,12)(2zzzzf则,111)(zzzf.1,0z奇点为(2)当C为时，112222yx令C1：,31||zC2：,31|1|z则2211d11d1d11d1CCCCzzzzzzzzI.42002iπiπiπC;21|3|z.112222yx(1)(2),d122CzzzzI其中C为：例计算C321010第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理的简单曲线，四、路径无关性定理设函数f(z)在单连通域D内解析，.d)(d)(21CCzzfzzfC1,C2为D内的任意两条从到0z1z.d)(d)(d)(221CCCzzfzzfzzf证明,0d)(d)(21CCzzfzzf由可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有P60定理3.311第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理计算,dsinCzzI例其中C为如图所示的一个半圆。xyCi2G解设G如图所示，处处解析，CzzIdsinΓzzdsin20dsinxx20cosx.2cos1问是否可以直接计算？20cosz.2cos1因此有CzzIdsin20dsinzz即zsin由于在复平面上P61例3.612第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理五、原函数设在单连域D内，函数恒满足条件,)()(zfzF定义)(zF则称为在D内的一个原函数。)(zF)(zf1.基本概念及性质函数的任何两个原函数相差一个常数。性质)(zf设和是的两个原函数，则证明)(zG)(zH)(zf)()(])()([zHzGzHzG,0)()(zfzf其中，c为任意常数。,)()(czHzG函数的原函数称为的不定积分，定义)(zfczF)()(zf.)(d)(czFzzf记作P64定义3.2补13第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理0zzD五、原函数2.由变上限积分构成的原函数定理若在单连域D内处处解析，)(zf则在D内解析，且)(zF.)()(zfzF,d)()(0zzfzF,,0Dzz令,d)(1Δzzzfz,d)(1)(Δzzzzfzzf证明(思路)zzFzzFzF)()Δ((1),d|)()(|||1)(ΔzzzszffzzfzFzz直线段P63定理3.5(跳过?)14第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理证明(思路)(2),d|)()(|||1)(ΔzzzszffzzfzF,|Δ||Δ|1zz(当充分小时)|Δ|z,0)(ΔΔlim0ΔzfzFz.)()(zfzF即0zzD五、原函数2.由变上限积分构成的原函数定理若在单连域D内处处解析，)(zf则在D内解析，且)(zF.)()(zfzF,d)()(0zzfzF,,0Dzz令zz直线段15第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理由于也是的一个原函数，证明zzfzF0d)()()(zf,)()(00czGzF.)()(0d)()()(010110zGzGzzfzFzFzz,)()(czGzF有,)()(11czGzF3.Newton-Leibniz公式定理若在单连域D内处处解析，为的原函数，)(zG)(zf)(zfP64定理3.6五、原函数16第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理.sinsinabiz10331.d102izz例求解izz102d.)1(313ibazsin.dcosbazz例求bazzdcos解.dcos0izzz例求解izzz0dcosizz0sindiizzzz00dsinsinizzz0)cossin(.1cossiniii17第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理解iizzd)1ln(iiiizzzzzd1)1ln(iiiizzzzzd111)1ln(iizzzz)]1ln()1ln([.2)2ln2(iπiP65例3.918第三章复变函数的积分§3.2柯西积分定理休息一下……