南大复变函数与积分变换课件(PPT版)2.2-解析函数与调和函数的关系

1第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数2第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。引例沿闭路做功为零(即做功与路径无关)。又称为保守场或者梯度场或者有势场。存在势函数,),,(zyx使得.zR,yQ,xP.,,},,{}{zyxRQPF即(1)无旋场设该力场为.}),,(,),,(,),,({zyxRzyxQzyxPF3第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系考察三维空间中某无旋无源力场(或流速场)的势函数。一、调和函数引例设该力场为.}),,(,),,(,),,({zyxRzyxQzyxPF(1)无旋场.,,},,{}{zyxRQPF(2)无源场散度为零，.0222222zyx无旋无源力场的势函数满足.02222yx特别地，对于平面力场.0zRyQxP即4第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系一、调和函数,02222yx则称为区域D内的调和函数。),(yx若二元实函数在区域D内有连续二阶偏导数，),(yx定义且满足拉普拉斯(Laplace)方程：注泊松(Poission)方程.),(2222yxfyxP36定义2.3(算子与算子)5第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系.02222yuxu,222xyvxu,yvxu,xvyu,222yxvyu.02222yvxv同理证明由解析，),(),()(yxviyxuzf有(?)(?)(?)证明由解析，,yvxu.02222yuxu,222xyvxu,xvyu,222yxvyu同理),(),()(yxviyxuzf有(?)(?)(?).02222yvxvP36定理2.3一、调和函数6第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系二、共轭调和函数设函数及均为区域D内的调和函数，),(yxu),(yxv定义函数在区域D内解析的充要),(),()(yxviyxuzf定理条件是：在区域D内，v是u的共轭调和函数。则称v是u的共轭调和函数。注意v是u的共轭调和函数u是v的共轭调和函数。且满足CR方程：,yvxu,xvyuP37定义2.4P37定理2.47第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v(或者已知虚部v，求实部u)，使解析，且满足指定的条件。),(),()(yxviyxuzf注意必须首先检验u或v是否为调和函数。方法偏积分法全微分法构造解析函数的依据：),(),()(yxviyxuzf依据(1)u和v本身必须都是调和函数；(2)u和v之间必须满足CR方程。8第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系方法偏积分法三、构造解析函数(不妨仅考虑已知实部u的情形)(1)由u及CR方程(2)将(A)式的两边对变量y进行(偏)积分得：yxuyyvyxvdd),(其中，已知，而待定。),(~yxv)(x(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数.)(x得到待定函数v的两个偏导数：,xuyv.yuxv(A)(B)cyxv),(~(C),)(x9第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系C方法三、构造解析函数全微分法(不妨仅考虑已知实部u的情形)(1)由u及CR方程得到待定函数v的全微分：(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)得到原函数：.dddddyxuxyuyyvxxvvcyyuxyuyxvyxyx),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC其中，或0CC.21CCP3910第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系故是调和函数。),(yxu,02222yuxu,622xxu,622xyu由解(1)验证为调和函数),(yxuP38例2.6修改11第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系解由,6)(6xyyuxxyxv,0)(x,)(cx.3),(32cyyxyxv,3d)33(3222cyyxyyxv,)(x,3322yvyxxu由(2)求虚部。),(yxv方法一：偏积分法12第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系解(2)求虚部。.332cyyx,6xyyuxv,3322yxxuyv由方法二：全微分法,d)33(d6ddd22yyxxxyyvxvvyx),()0,0(22d)33(d6),(yxcyyxxxyyxvyxcyyxx0220d)33(d0),(yxC1C2),(yxv13第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系解(3)求确定常数c,)3()3()(3223cyyxixyxzf根据条件,)(iif将代入得1,0yx,)1(ici,0c.)3()3()(3223yyxixyxzf即得.3z14第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系故是调和函数。),(yxu,02222yuxu,222xu,222yu由解(1)验证为调和函数),(yxu验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iifP40例2.815第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系由,2)(2xyyuxyxv,)(xx,21)(2cxx.21212),(22cxyxyyxv,)(212d)2(2xyxyyyxv,2yvyxxu由解(2)求虚部。),(yxv方法一：偏积分法验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iif16第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系,2xyyuxv,2yxxuyv由方法二：全微分法(利用第二类曲线积分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx),()0,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxvyxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iif解(2)求虚部。),(yxv17第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系,2xyyuxv,2yxxuyv由方法三：全微分法(利用“反微分”法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx.21212),(22cxyxyyxv,)2/d(d2)2/d(d222yyxxxy,)2/2/2d(22yxxy验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iif解(2)求虚部。),(yxv18第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系,2)(222xyiyxz由方法四：直接利用已知的解析函数与“唯一性”.21212),(22cxyxyyxv,221222yxiyxzi故是解析函数的实部，xyyxu222221)(zizzg验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iif解(2)求虚部。),(yxv19第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系解(3)求确定常数c根据条件,1)(iif将代入得1,0yx,21c.)21212()()(2222cxyxyixyyxzf,1)21(1ici即得.)2121212()()(2222xyxyixyyxzf.212122iziz验证为调和函数，并求以),(yxu例,)(zf的解析函数使得为实部▲xyyxu22.1)(iif20第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系休息一下……21第二章解析函数§2.2解析函数与调和函数的关系附：知识广角——算子与算子哈密顿(Hamilton)算子“那布拉”.,,}{zyx拉普拉斯(Laplace)算子.222222zyx“德尔塔”则梯度.UUgrad),,(zyxF设为向量场，则设为数量场，),,(zyxU例如拉普拉斯(Laplace)方程泊松(Poission)方程.0.),,(zyxf例如散度,FFdiv旋度.FFrot(返回)