南大复变函数与积分变换课件(PPT版)4.4-洛朗级数

1第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”二、洛朗(Laurent)定理三、将函数展开为洛朗级数的方法2第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析引例根据前面的讨论已知，函数在点的幂级数z110z展开式为.)1||(,1112zzzz事实上，该函数在整个复平面上仅有一个奇点，1z但正是这样一个奇点，使得函数只能在内展开1||z为z的幂级数，而在如此广大的解析区域内不能1||z展开为z的幂级数。有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！3第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析设想这样一来，在整个复平面上就有由，,1||1z1||z有从而可得zzz111111.11132zzz;)1||(,1112zzzz.)1||(,1111132zzzzz4第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”1.问题分析启示如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？下面将讨论下列形式的级数:.)()(202010zzazzaa101202)()(zzazzannnzza)(05第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”分析2.级数的收敛特性nnnzza)(0将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。;)()(202010zzazzaa00)(nnnzza(A)10)(nnnzza.)()(202101zzazza(B)(1)对于(A)式，其收敛域的形式为;||20Rzz(2)对于(B)式，其收敛域的形式为;||10Rzz根据上一节的讨论可知：6第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性nnnzza)(0(1)如果级数收敛，nnnzza)(0.||201RzzR则其收敛域“一定”为环域：①如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：Rzz||00.||00Rzz或②如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：.||0zzR上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。7第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”结论2.级数的收敛特性nnnzza)(0(1)如果级数收敛，nnnzza)(0.||201RzzR则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。(2)级数在收敛域内其和函数是解析的,nnnzza)(0因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。8第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数z0R1D二、洛朗(Laurent)定理设函数在圆环域定理)(zf,)()(0nnnzzazfC为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线。0z解析,201||:RzzRD内在此圆环域中展开为则一定能)(zf,d)()(2110Cnnzfiπa,),2,1,0(n其中，证明(略)CP94定理4.7(进入证明?)9第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数注(1)展开式中的系数可以用下面得方法直接给出。na.d)()(2110cnnzzzzfiπa20110)()()(zzazzzfnn,10nnazza,020naiπCnzzzzfd)()(10二、洛朗(Laurent)定理z0R1CD1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf10第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数注(2)洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(4)系数Cnnzfiπad)()(2110.)(!10)(zfnn?(5)若函数在圆环内解析，则在Rzz||00)(zf)(zf在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。11第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数三、将函数展开为洛朗级数的方法1.直接展开法根据洛朗定理，在指定的解析环上.d)()(2110Cnnzfiπaz0R1CD直接计算展开系数：有点繁！有点烦！12第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数三、将函数展开为洛朗级数的方法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式,!3!21!032ennzzzznz.||z,111320zzzzznn.1||z2.间接展开法13第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数三、将函数展开为洛朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为,,,321zzz展开点为,0z则复平面被分为四个解析环：0z1z2z3zr1r2r314第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数12函数有两个奇点：)(zf,2,1zz以展开点为中心，0z将复平面分为三个解析环：解(1)将复平面分为若干个解析环;1||0z①;2||1z.||2z②③(2)将函数进行部分分式分解)2()1(1)(zzzf.2111zzP97例4.1315第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解12①当时，1||0z(3)将函数在每个解析环内分别展开zzzf2111)(21121zz11.21101)(nnnz0221nnnz0nnz16第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解12②当时，2||1z(3)将函数在每个解析环内分别展开zzzf2111)(21121zzz1111011nnzz0221nnnz.210101nnnnnzz17第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解12③当时，||2z(3)将函数在每个解析环内分别展开zzzf2111)(zz2111zz1111011nnzz021nnnzz.1201nnnz18第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数ii有两个奇点：,iz以展开点为中心，iz将复平面分为两个解析环：解(1)将复平面分为若干个解析环注意：不需要将函数进行部分分式分解。,)()(1)(izizzf函数;2||0iz①.||2iz②0P98例4.1519第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数0)2()()1(211nnnniiziiz121211iiziiziizizzf2)(11)(解①当时，2||0izii(2)将函数在每个解析环内分别展开.)()2()1(101nnnnizi20第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数02)()2()1()(1nnnniziiziziiziz21111iizizzf2)(11)(解②当时，||2izii(2)将函数在每个解析环内分别展开.)()2(02nnnizi21第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数函数有两个奇点：)(zf,2,1zz以展开点为中心，1z解(1)将复平面分为若干个解析环注意：不需要将函数进行部分分式分解。;1|1|0z①.|1|1z②0将复平面分为两个解析环：1222第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解①当时，1|1|0z(2)将函数在每个解析环内分别展开12zzzzf21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2zzz0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110nnzz.)1(2)1(1012nnzz23第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解②当时，|1|1z(2)将函数在每个解析环内分别展开12zzzzf21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2zzz1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1(111nnzz.)1(12)1(132nnzz24第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数解)(e432313!41!31!2111zzzzzzz,!41!31!223zzzz在内展开成洛朗级数。例把函数zzzf13e)(|z|0.0|z|.0|z|解)(e!4!3!211143222zzzzzzz在内展开成洛朗级数。例把函数|z|0zze21,!41!31!211122zzzz25第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数轻松一下吧……26第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数附：洛朗定理的证明由二连域的柯西积分公式有21,d)(21d)(21)(ΓΓζzζζfπiζzζζfπizf如图，在圆环内作两个圆：证明对内任一点z，zrz0R1G1G2C,||:,||:0201RzzΓrzzΓ,21RRrR其中，Rzzr||0.21II记为27第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数附：洛朗定理的证明证明2,d)(211ΓζzζζfπiI,,22内在上在ΓzΓ0010)()()(π21)(π2122nnΓnΓzzdzfidzfi对第一个积分.100zzz和泰勒展开式一样，可以推得zrz0R1G1G2C28第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数附：洛朗定理的证明证明,)()(1)()(1111.1,,.d)(π2110101010000001222nnnnnnΓzzzzzzzzzzzzzzzΓzΓzfiI因此的外部在点上在由于对于第二个积分29第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数附：洛朗定理的证明证明10,||.d)()()(π21)(),()(d)()(π21d)(π21000010110102111qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiIΓNnnnNNNnnΓnΓ则令其中30第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数因此有附：洛朗定理的证明证明.1π2π21d|||)(|π21|)(|1100001qqMrqrMszzzzfzRNNnnΓnnN.0)(lim,0limzRqNNNN所以因为.|)(|11上的最大值在是其中，ΓzfM31第四章解析函数的级数表示§4.4洛朗级数附：洛朗定理的证明证明)7.4.4(),2,1(,d)()(π21)6.4.4(),2