南大复变函数与积分变换课件(PPT版)6.2-共形映射的基本问题

1第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题§6.2共形映射的基本问题一、问题一二、问题二(基本问题)2第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题一、问题一的函数求象集合对于给定的区域D和定义在区域D上,)(zfw.)(DfG1.保域性定理定理设函数在区域D内解析，且不恒为常数，)(zfw则其象集合仍然为区域。)(DfG证明(略)意义保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了求象区域的问题。P140定理6.23第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题GCD一、问题一2.边界对应原理定理设区域D的边界为简单闭曲线C，函数在闭域)(zfw上解析，且将曲线C双方单值地映射为简单CDD闭曲线.Γ当沿C的正向绕行时，相应的的绕行zw方向定为的正向，Γ并令G是以为边界的区域，则Γ将D共形映射为G。)(zfwΓΓG1z2z3z1w2w3w1w2w3w证明(略)P140定理6.34第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题意义边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题变成了求象曲线的问题。一、问题一2.边界对应原理定理设区域D的边界为简单闭曲线C，函数在闭域)(zfw上解析，且将曲线C双方单值地映射为简单CDD闭曲线.Γ当沿C的正向绕行时，相应的的绕行zw方向定为的正向，Γ并令G是以为边界的区域，则Γ将D共形映射为G。)(zfw5第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题一、问题一3.求象区域的一般方法则有设函数在闭域上解析，且为一一映射。)(zfwCDD,)(,)()(tytxuu,)(,)()(tytxvv(1)令,viuw,yixz,),(yxuu;),(yxvv(A),),(vux.),(vuy(B)(2)求边界曲线C的象曲线.Γ,)(~tuu.)(~tvv即得象曲线的方程Γ(参数式),)(txx,)(tyy若C的方程为(参数式)由(A)式补6第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题由(B)式,0),(,),()(vuvuF即得象曲线的方程Γ(方程式).0),(~vuF若C的方程为,0),(yxF(方程式)一、问题一3.求象区域的一般方法则有设函数在闭域上解析，且为一一映射。)(zfwCDD(1)令,viuw,yixz,),(yxuu;),(yxvv(A),),(vux.),(vuy(B)(2)求边界曲线C的象曲线.Γ7第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题(3)求象区域.方法一沿边界C的正向找三点，考察象点的走向。方法二在区域D的内部找一点，考察象点的位置。注意对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。一、问题一3.求象区域的一般方法则有设函数在闭域上解析，且为一一映射。)(zfwCDD(1)令,viuw,yixz,),(yxuu;),(yxvv(A),),(vux.),(vuy(B)(2)求边界曲线C的象曲线.Γ8第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题(1)由有,1izw解,1iwz则有iviuyix1,2222iivuvvuu,viuw,yixz令.2222vuvvuy,22vuux)(zCDxy9第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题(1)解.2222vuvvuy,22vuux)(zCDxy(2)求边界曲线C的象曲线.Γ由(1)式即得象曲线的方程为Γ曲线C的方程为,0yx,022vuvu.222121222)()()(vu)(wΓ110第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题G(1)解.2222vuvvuy)(zC,22vuux(2)求边界曲线C的象曲线.Γ)(w0zΓ(3)求象区域.代入函数,1izw在D的内部取一点方法一,0iz,210iw得到象点故象区域G在曲线的“内部”。Γ0wDxy111第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题G(1)解.2222vuvvuy)(zC1z2z3z,22vuux(2)求边界曲线C的象曲线.Γ)(wΓ(3)求象区域.在D的边界上取三点：方法二故象区域G在曲线的“内部”。Γ,1z,12iz,03z3w1w,01w,12w,3iw后续讨论将会看到仅此一步就足够了Dxy12w12第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题解设区域D的边界为C，,eiz其中.20:π(1)在的映射下，ziw曲线C对应的iiwe其中.222:πππ)2(eπi,ei象曲线的方程为Γ即得象区域G如图所示。GΓ)(w1则C的方程为CD)(z113第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题曲线C对应的iwe/1其中.20:π)(ei,ei象曲线的方程为Γ即得象区域G如图所示。G(2)在的映射下，wz1Γ)(w1解设区域D的边界为C，则C的方程为,eiz其中.20:πCD)(z114第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题二、问题二(基本问题)对给定的区域D和G，求共形映射,)(zfw.)(DfG使1.黎曼存在唯一性定理设D和G是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界定理上至少含有两个点，则一定存在解析函数,)(zfw将区任意指定一点和0z,0w并任给一个实数,)(00ππ要求函数)(zfw满足且00)(wzf,)(arg00zf映射的函数是唯一的。)(zfw则域D双方单值地映射为G。如果在区域D和G内再分别证明(略)P142定理6.415第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题对给定的单连域D,求共形映射，使得D映射为单位圆域。)(w二、问题二(基本问题)对给定的区域D和G，求共形映射,)(zfw.)(DfG使2.基本问题的简化事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。)(z)()(zf记为)()(1zghw附：关于存在性与唯一性的补充说明。(实习)P139(存在性与唯一性的补充说明)16第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题休息一下……17第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题附：关于存在性与唯一性的补充说明1.关于存在性则不存在解析函数,若区域D为下列情形之一：(1)扩充复平面;(2)复平面;(3)扩充复平面上除去一个有限点,0z使D共形映射为单位圆域。,)(zfw证明若存在函数将D共形映射为单位圆域,1||w则在整个复平面上解析且1|)(|zf)(zfw(即有界),根据刘维尔(liouville)定理(见§3.4)，)(zf必恒为常数。这显然不是所要求的映射。其中，情形(3)可利用映射转化为情形(2)。01zzP14118第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题附：关于存在性与唯一性的补充说明2.关于唯一性一般说来是不唯一的。对于任意给定的实常数,0比如函数将单位圆域仍然映射为单位圆域。0eizw(港饼)P14219第六章共形映射§6.2共形映射的基本问题附：关于存在性与唯一性的补充说明设D和G是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界则一定存在解析函数定理上至少含有两个点，,)(zfw将区映射的函数是唯一的。任意指定一点和0z,0w并任给一个实数,)(0ππ要求函数)(zfw满足且00)(wzf,)(arg00zf)(zfw则域D双方单值地映射为G。如果在区域D和G内再分别3.黎曼存在唯一性定理至少含有两个点满足且00)(wzf,)(arg00zf(返回)