高中数学高考综合复习椭圆与双曲线

1/30高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。三、知识要点(一)椭圆Ⅰ定义与推论1、定义1的的认知2/30设M为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：，（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：（d1为点M到左准线l1的距离）（d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式：Ⅱ标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程①中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程②（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：（2）标准方程①、②统一形式：2、椭圆的几何性质（1）范围：（有界曲线）3/30（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义）（4）离心率：刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点对应的左准线右焦点对应的右准线椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为.Ⅲ挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程且（2）同离心率的椭圆的方程且2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点，4/30则；或。（二）双曲线Ⅰ、定义与推论1．定义1的认知设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：，（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2．定义2的推论设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有，其中，为焦点到相应准线li的距离推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，；当点M在双曲线左支上时，。Ⅱ、标准方程与几何性质3．双曲线的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为①中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为②（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：5/30（2）标准方程①、②的统一形式：或：（3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式：4．双曲线的几何性质（1）范围：（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点（由此赋予a,b名称与几何意义）（4）离心率：（5）准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为（6）渐近线：双曲线的渐近线方程：6/30Ⅲ、挖掘与延伸1．具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线（※）（1）当λ+μ为定值时，（※）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=λ+μ;（2）当为定值时，（※）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程：；（3）以直线为渐近线的双曲线（系）方程为：特别：与双曲线共渐近线的双曲线的方程为：（左边相同，区别仅在于右边的常数）2．弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点则经典例题1、（1）若椭圆a2x2-a2y2=1的一个焦点是（-2，0），则a等于。（2）已知椭圆的焦点为F1、F2，点P是其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围为。分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。7/30由题设知已知得：这里由此解得（2）这里a=3,b=2,c=∴以线段F1F2为直径的圆的方程为设，则由点P在椭圆上得：①又由为钝角得：∴②∴由①、②联立，解得：∴所求点P横坐标的取值范围为点评：注意到点P对的大小的影响可用点P与圆相对位置关系来反映，故选择这一解法。当然，本题亦可由推出的范围，请同学们尝试和比较。2、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于P、Q两点，且，求椭圆的离心率。分析：不防设椭圆方程为，为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。8/30解：设椭圆方程为设，则由为等腰得：又由椭圆第一定义得∴的周长为4a∴即①注意到为，∴∴②即②′因此，①代入②′得由此解得∴点评：这里对条件运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出①，第二项用于导出②；两次运用条件：第一次利用为等腰表示出，第二次利用为导出②′。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。3、已知双曲线的左、右两个焦点为，P为双曲线上的点，又，成等比数列且，求双曲线方程。分析：这里要求b的值。注意到，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b的方程或不等式。由题设得，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利9/30用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。解：这里（4的特殊性）∵，即，∴点P在双曲线右支上设点，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得①又由题设得②∴①代入②得③再注意到由得∴，∴即④于是③、④得⑤而，所以由⑤得b=1因此，所求双曲线方程为：点评：这里对已知条件的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P在双曲线右支上；第二次“细”用，利用（将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的范围：。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。4、设椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，的最大值为。10/30（1）求椭圆的离心率；（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。分析：中的最大值为的最小值为，循着特殊与一般相互依存的辩证关系，想到从在中运用余弦定理推导的最小值切入。解：（1）设=，，，则在中由余弦定理得即①∴的最小值为又由题设知的最大值，即的最小值为∴∴即a=2b∴11/30（2）由已知椭圆方程为②由题设知直线l不垂直于x轴设直线l的方程为③设则由直线l与圆相切得：④将③代入②得：⑤∴④代入⑤得∴直线l与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得：，⑥∴（当且仅当，即时等号成立）∴的最大值为2b（当时取得）∴由题设得（此时）⑦∴a=2b=4⑧进而由④得，即⑨12/30因此，由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为，直线l的方程为或点评：这里导出的①式为此类问题的共同基础：设P为椭圆上任意一点，，则最小值为据此若的最大值为，则（即）；若的最大值为，则（即）；若的最大值为，则（即）。5、已知斜率为1的直线l与离心率为的双曲线交于P、Q两点，又直线l与y轴交于点R，且，，求直线和双曲线方程。分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。解：由得，∴双曲线方程为①设，直线l的方程为②将②代入①得③对于方程③，恒成立由韦达定理得④⑤13/30∵∴即由此得又由题设得，故得⑥∴由④、⑥联立解得⑦将⑦代入⑤得⑧再注意到得⑨∴将⑦、⑧代入⑨得解得，⑩∴因此，由①，②得所求双曲线方程为，所求直线方程为点评：（Ⅰ）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。（Ⅱ）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式（）→转化→代入→结论⑧；14/30已知式（）→转化→代入→结论⑩。同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。6、已知，（1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程；（2）若直线与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），且有，试求m的取值范围。分析：对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。解：（1）由已知得，∴由得，得∴所求点P的轨迹C的方程为：①（2）设，弦AB的中点，则将l的方程代入①得②由题意得③且④∴15/30即中点M的坐标为注意到点D在弦AB的垂直平分线上∴∴（，且），且）⑤于是将⑤代入③得或⑥此时再注意到由⑤得⑦（关于k的二次函数隐含范围的发掘）于是由⑥、⑦所求m的取值范围点评：（1）认知已知条件，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里，为k的二次函数，又由这里，故。因此可解关于k的二次函数m的取值范围：。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认知这一些，便会导出的错误结果。五、高考真题：16/30（一）选择题1.椭圆的两个焦点为，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（）A.B.C.D.4分析：由已知不防设点P在x轴正方，则以代入椭圆方程得，故得点，从而，故选C。2.点P（-3，1）在椭圆（ab0）的左准线上，过点P且方向为的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.B.C.D.分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。点P（-3，1）关于直线y=-2的对称点为左焦点又方向为的直线的斜率为，设入射光线与直线y=-2的交点为M，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得∴∴，17/30解得：c=1.再由点P（-3，1）在左准线上得，∴，应选A。3.若动点（x，y）在曲线（b0）上变化，则的最大值为（）A.B.C.D.2b分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。由得①设，则②又由①中得，且②的对称轴为（1）当，即时，；（2）当，即时，，于是由（1）、（2）知应选A。4.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（）18/30A.1B.2C.3D.4分析：的方程为，且易知的下方有两个满足题设条件的点。以下考察直线上方是否存在满足题设的点P设在上方且与椭圆相切于点P的直线的方程为，将它与椭圆方程联立，消去y得由△=0得：，取∴与之间的距离∴，∴直线上方不存在满足题设的点P②于是由①，②知应选B。点评：运用数形结合的方法，解题过程变得简捷。5.已知双曲线的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°分析：首先着眼于寻找a，b的联系，由题设知F（c，0），右准线方程为，并且取点，则，∴a=b，∴双曲线为等轴双曲线，两渐近线夹角为90°，19/30∴应选D。6.已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（）A.B.C.D.分析：立足于计算与推理，由已知得：∴∴轴，∴，代入椭圆方程得，即∴当点到直线的距离为h，则由得，∴应选C。点评：这里线段为半正焦弦，故，利用它更为方便。7.已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为（）A.B.C.D.分析：由已知得，，20/30∴①∵，∴∴②∴由①，②得∴设所求距离为h，于是由得，故选C。8.已知是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.分析：从认知的特性切入，寻找关于a，c的等式（或方程）∵为正三角形，∴点M在y轴上设边的中点为P，连结，得，∵，∴，①又由题设知点P在双曲线左支上，∴②∴①代入②得∴，应选D。21/30（二）填空题1.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线方程为。分析：由题设得：，∴由得，∴∴所求双曲线方程为2.设双曲线的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果为，则双曲线的离心率为。分析：设右准线l与x轴交