《复变函数》第1章

复变函数（第四版）电子教案中山大学公共卫生学院刘素芳邓卓燊编写2020/9/4《复变函数》(第四版)第2页第一章复数与复变函数§1复数及其代数运算1.复数的概念复变函数——自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象:解析函数．复变函数论又称为解析函数论．i—虚数单位i2=－1复数：z=x+iy(或z=x+yi),x,y为实数实部：x=Re(z)虚部：y=Im(z)纯虚数：z=iy(y≠0)2020/9/4《复变函数》(第四版)第3页2.复数的代数运算(1)加(减)法:(2)乘法:按多项式法则相乘iyxiyxz=0x=y=0z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2x1=x2,y1=y2注意：任意两个复数不能比较大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共轭复数：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1·z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2－y1y2)+i(x2y1+x1y2)2020/9/4《复变函数》(第四版)第4页(3)除法:复数的运算满足交换律、结合律和分配律.(4)共轭复数性质21zzz2211iyxiyx))(())((22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxxi),2121zzzz,2121zzzz;2121zzzzii);zziii);)Im()Re(22zzzziv),)Re(2zzz.)Im(2zizz2020/9/4《复变函数》(第四版)第5页证例1解:.2121zzzz))((221121iyxiyxzz)()(21122121yxyxiyyxx))((221121iyxiyxzz)()(21122121yxyxiyyxxP.4设z1=5－5i,z2=－3+4i,求21zz与21zz21zzi515721zzi5157)4355(21iizz2020/9/4《复变函数》(第四版)第6页例2解:设,131iiiz求Re(z),Im(z)与.zz)1)(1()1(3iiiiiiiz)2323(iii2123,23)Re(z,21)Im(z222123zz.252020/9/4《复变函数》(第四版)第7页§2复数的几何意义1.复平面,复数的其它表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1)z=x+iy点(x,y)↔(几何表示法)直角坐标平面xoy复平面.点与复数对应x—实轴y—虚轴(2)z=x+iy↔(向量表示法)OP向量模||OPzr22yx由此:),(yxPxyor2020/9/4《复变函数》(第四版)第8页结论:辐角:辐角主值:,||zz,22zzzz,zx,zy,||yxz2121zzzz(两边之和大于第三边)||||2121zzzz(两边之差小于第三边)zArg(z0)无穷多个,相差2kπ.xyz)Argtan(zarg00kzz2argArgk=0,±1,±2,……当z=0时,|z|=0,而辐角不确定.2020/9/4《复变函数》(第四版)第9页Argz的主值argz(z0)可由Arctan的主值arctan来确定:例:xyxy其中2arctan2xyz=－3+3i42argz.43)1arctan(arg(z或1arctan4)43(图示)000arctan002—0arctanarg——0——0yxyxxyyxxxyz，，，，二象限二象限在第一、四象限2020/9/4《复变函数》(第四版)第10页(3)三角表示法(4)指数表示法例iyxz)sin(cosir由欧拉公式sincosiei得irez求3sin3cosiz和3cosi3sinz的辐角主值.解:3sin3cosiz,)3sin()3cos(i3argz3cos3siniz,)32sin()32cos(i32argz62020/9/4《复变函数》(第四版)第11页例1解:1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1)iz2122)5cos5siniz,4412r)42412(4iz).2123(4i,23cos21sin.65(或122arctan33arctan65∵z在第三象限)∴三角式:)]65sin()65[cos(4iz指数式:iez654书P.72020/9/4《复变函数》(第四版)第12页解:2)例2.见书P.8…(自阅)续上页例15cos5siniz)52sin()52cos(i103sin103cosi三角式:103sin103cosiz指数式:iez1032020/9/4《复变函数》(第四版)第13页平面图形与复数形式方程例3通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的参数方程)()(121121yytyyxxtxx得复数形式的参数方程)(121zztzz)(t解法二:如图,z－z1与z2－z1共线)(121zztzz即)(121zztzzz2ozz12020/9/4《复变函数》(第四版)第14页例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲线1)|z+i|=2;2)|z－2i|=|z+2|;3).4)Im(zi几何上看|z+i|=|z－(－i)|=2:的距离为2的点轨迹,即中心为(－i),半径为2的圆.代数推导:设z=x+iy则|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2=4|z－2i|=|z+2|——到点2i和－2距离连结2i和－2的线段的垂直平分线.与点－i相等的点轨迹:|x+(y－2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y－2)2=(x+2)2+y2y=－x(见书P10图1.5)2020/9/4《复变函数》(第四版)第15页解:3)问:续上页例44)Im(zi4)Im(yixi1－y=4y=－3|z+3|+|z+1|=4中z的轨迹?到定点z=－3和z=－1的距离和为常数——椭圆.(左焦点)(右焦点)2020/9/4《复变函数》(第四版)第16页2.复球面任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极.连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上的点的一一对应,球面称为复球面.2020/9/4《复变函数》(第四版)第17页规定:注:1.在高等数学中,∞可以分为+∞和－∞.而在复变函数中只有唯一的无穷远点∞.(这样才能与复球面一一对应)2.引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义.∞可以作为复平面的唯一的边界点.在扩充的复平面上,直线可看成是一个圆.|∞|=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α·∞=∞·α=∞,0,0.0）可为中（无特殊说明,平面仍指有限平面.2020/9/4《复变函数》(第四版)第18页§3复数的乘幂与方根1.乘积与商,111ierz222ierz)(2121212121iiierrererzz)(121212ierrzz,||||||.12121zzzzTh2121ArgArg)(Argzzzz(两端可能值相等,即集相等),||||.21212zzzzTh1212ArgArgArgzzzz2020/9/4《复变函数》(第四版)第19页几何意义:特别:z1·z2:z1逆时针旋转一个角度argz2,并伸长|z1|到|z2|倍.:12zzz2顺时针旋转一个角度argz1,并伸长.||11倍ziz1——对z1实行一次旋转变换,旋转角.22020/9/4《复变函数》(第四版)第20页例1方法一:已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i,求它的另一个顶点.解:设z3=x+yi|zz||zz||zz||zz|12321231⇒2)1()2(2)1(2222yxyx⇒231233yx2020/9/4《复变函数》(第四版)第21页方法二:类似13112)3(3zzzzz得或旋转绕)(12313zzezzi)1)(2321(iii)2321()2321(iz2312333，由)(12313zzezzi可得iz2312333续上页例1(书P14图1.8)Z3xy0Z1Z2Z3/32020/9/4《复变函数》(第四版)第23页2.幂与根╰—棣莫弗(DeMoivre)公式—╯z的n次方根:)sin(cosninrznn(n为负整数时亦成立)r=1:nininsincos)sin(cosnkzw)2sin2cos(nkinkrn(k=0,1,2,…,n-1)为以原点为中心,nr为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.2020/9/4《复变函数》(第四版)第24页特别:补例1:1的n次方根也叫n次单位根.1的三次方根:,10w,23211iw.23212iw∴x11+x7+x3=x2+x+1解:∵x3－1=(x－1)(x2+x+1),而x2+x+1=0故x是一个三次单位根.从而x11=x9·x2=x2,x7=x,x3=1.=0已知x2+x+1=0,求x11+x7+x3的值.2020/9/4《复变函数》(第四版)第25页补例2:证:求证23sincos3cos3cos32sinsincos33sin易知3)sin(cos3sin3cosii)sincos3(cos23)sinsincos3(32i比较虚部与实部,即得所证.2020/9/4《复变函数》(第四版)第26页补例3:解:但(1+z)5=(1－z)5验证知z≠1.故原方程可写成:1115zz,11zzw令则w5=1.,52ikewk=0,1,2,3,4,iew即.58,56,54,52,011wwz11iiee1sincos1sincosii)sin(coscos2)cossin(sin2222222ii2tani故原方程的根为:,tan2iz.58,56,54,52,0解方程2020/9/4《复变函数》(第四版)第27页§4区域1.区域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的δ–邻域:|z–zo|δ的全体点.(半径为δ的圆域)模zo的去心δ–邻域:0|z–zo|δ.的邻域:|z|M内点:zoG,zo的某个邻域属于G,zo为G的内点开集:集内的每个点都是内点.连通集:连接G内任意两点的折线也属于G.区域:连通的开集.边界点:zo的任意一个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点.zo为边界点。闭区域:区域+边界=G边界可以是曲线,也可以是孤立点.2020/9/4《复变函数》(第四版)第28页2.单连通域与多连通域(1)简单闭曲线:(2)光滑曲线:设z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)为复平面上一条连续曲线,(x(t),y(t)连续)一条没有重点的连