1.4复球面与无穷远点

复变函数论湖南第一师范学院数理系Functionsofonecomplexvariable第一章复数与复变函数§1.复数§2.复平面上的点集§3.复变函数§4.复球面与无穷远点作球面与复平面相切于原点O，过O作直线Oz垂直于复平面，与球面交于北极N.设z为任意一个复数，连接Nz，与球面交于点P，易见z与P一一对应，故复数亦可用球面上的点表示。该球面称为复球面.§4.复球面与无穷远点1.复球面及测地投l影法uxy(0,0,0)OzPzP当z→∞时，P→N，当z′→∞时，P′→N，因此作为N的对应点，我们把复平面上的无穷远点当作一点，记作∞.包括∞的复平面称为扩充复平面.注:将无穷远点当成一点是一种规定;以上复球面的作法不是唯一的.另一种常用的作法是将球心放在原点O.uxy(0,0,1)SOzP01.,0,,0无意义2.,0.aaa时，aa3.0,.bbb时，2.扩充复平面上的几个概念1(){:||}Nzz的邻域:的去心邻域:,是扩充复平面上的内点1(){}{:||}Nzz是复平面的唯一的边界点.{:||0}zz是复平面上的二连通区域，是扩充复平面上的单连通区域.扩充复平面上的每一条直线都()()()().CzICEC任意简单闭曲线，将扩充平面分为两个不相连接的区域，一个是有界区域内部,另一个是无界区域外部..经过无穷远点但不是简单闭曲线为什么带形区域是单连通区域？uxy(0,0,0)O=00000lim()()().1()lim()0()lim()(0)zzzzfzfzzfzfzzfzffzf在关系式：中，可以有或有广义连续和广义极限之说法.如在整个扩充复平面上广义连续.，.可以属于定义域，也可以属于值域本讲结束作业Page44习题：20