中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

1三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③ABCDE图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.ABCDE2DAEBC证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，BCACEDAEED∴△ABE≌△ECD.∴AB＝EC，BE＝CD.∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.例2如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？EDABC解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，3EADCEBCDCABCAC∴△CEB≌△ADC.∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.xy图①BA(0,3)C(-2,0)O解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D.∴∠BCD＋∠DBC＝90°.由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACO＝90°.∴∠DBC＝∠ACO.在△BCD和△CAO中，BDCAOCDBCACOBCAC∴△BCD≌△CAO.∴CD＝OA，BD＝OC.∵OA＝3，OC＝2.∴CD＝3，BD＝2.∴OD＝5.∴B（－5，2）.4xy图③BA(0,3)C(-2,0)OD（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.在△ACD和△CBO中，ADCCOBDACOCBACCB∴△ACD≌△CBO.∴CD＝OB，AD＝CO.∵B（－1，0），C（0，3）∴OB＝1，OC＝3.∴AD＝3，OD＝2.∴OD＝5.∴A（3，2）.xy图④C(0，3)AOB(-1,0)D跟踪练习1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.FBCADE证明：5（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在△ABE和△BCF中，ABBCABEBCFBECF∴△ABE≌△BCF.∴AE＝BF.（2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF.2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.cbaEDBAC解答：∵a、b、c都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.在△ABC和△CBE中，ABCCEDBACDCEACCD∴△ACB≌△CDE.∴AB＝CE，BC＝DE.6在Rt△ABC中，2AC＝2AB＋2BC＝2AB＋2DE即bS＝aS＋cS＝5＋11＝16.3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BPCP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.（1）求证：EF＝CF－BE；（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.EFCABPPCAB解答：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∴∠FAC＋∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，AEBAFCBAEACFABAC∴△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE.（2）如图，EF＝BE＋CF.理由：同（1）易证△ABE≌△CAF.7∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE＋AF，∴EF＝BE＋CF.PFECAB4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；（3）当0°α90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.EADCB解答：（1）1；（2）1；（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，12DGEDFECDDE8∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴EADS＝12AD·EF＝1.∴△EAD的面积与α大小无关.5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.求证：BC＝2AP.HPCFDBEAG解答：过点G作GM⊥AP于点M，过点E作EN⊥AP交AP延长线于点N.∵四边形ACFG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°.∴∠CAH＋∠GAM＝90°.又∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠ACH＝∠GAM.在△ACH和△GAM中，AHCGMAACHGAMACGA9∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可证△ABH≌△EAN∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，EPNGPMENPGMPENGM∴△EPN≌△GPM.∴NP＝MP，∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP.