一元二次不等式及其解法(二)

一元二次不等式及其解法（二）[学习目标]1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式fxgx＞0(＜0)法Ⅰ：fx＞0＜0gx＞0或fx＜0＞0gx＜0法Ⅱ：f(x)·g(x)＞0(＜0)fxgx≥0(≤0)法Ⅰ：fx≥0≤0gx＞0或fx≤0≥0gx＜0法Ⅱ：fx·gx≥0≤0gx≠0fxgx＞a＜a≥a≤a先移项转化为上述两种形式知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考(x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________．答案{x|1＜x＜2或x＞4}解析利用数轴穿根法知识点三一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a＞0，Δ＜0.ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a＜0，Δ＜0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.题型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)x＋43－x＜0；(2)x＋1x－2≤2.解(1)由x＋43－x＜0，得x＋4x－3＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．(2)方法一移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简有－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，同解不等式为x－2x－5≥0，x－2≠0，∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．方法二原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于x－5≥0，x－2＞0①或x－5≤0，x－2＜0，②解①得x≥5，解②得x＜2，∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．跟踪训练1不等式x2－2x－2x2＋x＋12的解集为()A．{x|x≠－2}B．RC．∅D．{x|x－2或x2}答案A解析∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0，∴原不等式⇔x2－2x－22x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋40⇔(x＋2)20，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．题型二解一元高次不等式例2解下列不等式：(1)x4－2x3－3x2＜0；(2)1＋x－x3－x4＞0；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.解(1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3；当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．(2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0，而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0，∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0，∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，进一步化为x－32x－43x－12(x－2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为x|x＜12或43＜x＜32或x＞2.跟踪训练2若不等式x2＋px＋q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式x2＋px＋qx2－5x－6＞0的解集是()A．(1,2)B．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C．(－1,1)∪(2,6)D．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)答案D解析由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)＞0⇒(x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)＞0⇒x＜－1或1＜x＜2或x＞6.题型三不等式恒成立问题例3对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．答案－2＜a＜2解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.跟踪训练3对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．1＜x＜2D．x＜1或x＞2答案B解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)由题意知，g1＞0，g－1＞0，即x－2＋x2－4x＋4＝x2－3x＋2＞0，－x＋2＋x2＋4－4x＝x2－5x＋6＞0，∴x＜1或x＞3.题型四一元二次不等式在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解(1)降低后的征税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%)．依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得，150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．跟踪训练4在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．解由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x212，S乙＝0.05x＋0.005x210.分别求解，得x－40或x30.x－50或x40.由于x0，从而得x甲30km/h，x乙40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|x－2x≤0}，则A∩B等于()A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜2}D．{x|0≤x≤1}2．若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的值的集合是()A．{a|0a4}B．{a|0≤a4}C．{a|0a≤4}D．{a|0≤a≤4}3．不等式x＋1x＋22x＋3x＋4＞0的解集为______________________．4．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立，求a的取值范围．5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？一、选择题1．不等式1＋x1－x≥0的解集为()A．{x|－1＜x≤1}B．{x|－1≤x＜1}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1＜x＜1}2．不等式x－22x－3x＋1＜0的解集为()A．{x|－1＜x＜2或2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|－1＜x＜2}3．不等式组x－1＞a2，x－4＜2a有解，则实数a的取值范围是()A．(－1,3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)4．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为()A．1B．－1C．－3D．35．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为()A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－12＜a＜32D．－32＜a＜126．下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)7．若关于x的不等式ax－b＞0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋bx－2＞0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(1,2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－1,2)二、填空题8．不等式x2－2x－3x－5≤0的解集为__________________．9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．10．若关于x的不等式x－ax＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.三、解答题11．关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．12．已知关于x的不等式a＋1x－3x－1＜1.(1)当a＝1时，解该不等式；(2)当a＞0时，解该不等式．13．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．当堂检测答案1．答案B解析∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．2．答案D解析a＝0时符合题意．a0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0a≤4}，综上，得{a|0≤a≤4}，故选D.3．答案{x|－4＜x＜－3或x＞－1}解析原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.4．解原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，设f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)＝5.∴a≤5.5．解设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．课时精练答案一、选择题1．答案B解析原不等式⇔x＋1x－1≤0，x－1≠0，∴－1≤x＜1.2．答案A解析原不等式⇔x＋1x－3＜0，x－2≠0，∴－1＜x＜3且x≠2.3．答案A解析由题意得，a2＋1＜x＜4＋2a.∴只须4＋2a＞a2＋1，即a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.4．答案C解析x2－4x－m在x∈[0,1]时，最小值为1－4－m，∴令－3－m≥0，∴m≤－3.5．答案C解析∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a