二元一次不等式(组)与平面区域

二元一次不等式(组)与平面区域[学习目标]1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．知识点一二元一次不等式(组)表示平面区域1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式与平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0(＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步：“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域；选择特殊点时，务必注意该点不能在直线上，即C≠0时，可选择(0,0)，当C＝0时，可选择其它特殊点．第三步，用阴影表示出平面区域．思考P1(0,0)、P2(1,1)在直线3x＋2y－1＝0的________侧(填“同”、“异”)．答案异解析将(0,0)和(1,1)分别代入3x＋2y－1时，式子的符号相反，故P1、P2在3x＋2y－1＝0的异侧．知识点二二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．题型一二元一次不等式表示的平面区域例1画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的平面区域．解(1)画出直线3x＋2y＋6＝0，因为这条直线上的点不满足3x＋2y＋6＞0，所以画成虚线．(2)取原点(0,0)，代入3x＋2y＋6.因为3×0＋2×0＋6＞0，所以原点在不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域内，所以不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域如图所示．跟踪训练1在平面直角坐标系中，画出满足下列条件的点表示的区域．(1){(x，y)|x－2＞0，y∈R}；(2)y≥x＋3.解(1)不等式表示的平面区域如图(1)所示，(2)①先画出直线y＝x＋3，由于直线上的点满足y≥x＋3，故将其画成实线．②取原点(0,0)，代入y－x－3中，得0－0－3＜0，所以原点(0,0)不在不等式y≥x＋3表示的平面区域内，则不等式表示的平面区域如图(2)所示．题型二二元一次不等式组表示的平面区域例2画出不等式组2x＋y－4≤0，x＞2y，y≥0所表示的平面区域．解先画出直线2x＋y－4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x＋y－4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x＋y－4≤0表示直线2x＋y－4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x＞2y表示直线x＝2y右下方的区域，不等式y≥0表示x轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示．反思与感悟(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包括边界．跟踪训练2不等式组x－y≤0，x＋y≤0表示的平面区域是()答案C解析取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1,0)等)代入不等式组x－y≤0，x＋y≤0，检验可得C符合．题型三不等式组表示平面区域的应用例3(1)画出不等式组x＋2y－1≥0，2x＋y－5≤0，y≤x＋2所表示的平面区域，并求其面积；解如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．由x－y＋2＝0，2x＋y－5＝0，得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．∴|AC|＝22＋－42＝25，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝|－2＋1－5|5＝65，∴S△ABC＝12|AC|·d＝12×25×65＝6.(2)求不等式组y≤2，|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．解可将原不等式组分解成如下两个不等式组：①x≥0，y≥x，y≤x＋1，y≤2，或②x≤0，y≥－x，y≤－x＋1，y≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S＝12×4×2－12×2×1＝3.跟踪训练3(1)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)(2)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．答案(1)C(2)4解析(1)如图，当直线y＝a介于直线y＝5(含该直线)与直线y＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a＜7，选C.(2)如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0，得A(8，－2)，所以S＝12×2×2＋12×2×2＝4.1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是()A．x－y＋12＜0B．2x＋2y－9＞0C．2x＋5y－10≥0D．x－y≤12．不等式x－2y≥0表示的平面区域是图中的()3．不等式组x＞2，x－y＋3＜0表示的平面区域是()4．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为()A．10B．9C．3D．无数个5．图中的阴影部分用不等式表示为________．6．画出不等式组x0，y0，x＋y－30表示的平面区域．一、选择题1．已知点P1(0,1)，P2(2,1)，P3(－1,2)，P4(3,3)，则在4x－5y＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是()A．1B．2C．3D．42．原点(0,0)和点(1,1)在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是()A．a＜0或a＞2B．0＜a＜2C．a＝2或a＝0D．0≤a≤23．已知点(a,2a－1)，既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，5)C．(0,2)D．(0,5)4．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≤－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个5．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是()A．a≥43B．0＜a≤1C．1≤a≤43D．0＜a≤1或a≥436．某人上午7：00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300km的B地，在B地不停留，然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x，y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x，y的范围阴影部分如图表示正确的是()7．在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3二、填空题8．若不等式|3x＋2y＋c|≤8表示平面区域总包含点(0,1)，(1,1)，则c的取值范围是________．9．能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是________．10．在平面直角坐标系内，不等式组y≥x－1，y≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为________．三、解答题11．在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．12．画出下列不等式表示的平面区域．(1)(x－y)(x－y－1)≤0；(2)|3x＋4y－1|＜5；(3)x≤|y|≤2x.13．设满足y≥|x－a|的点(x，y)的集合为A，满足y≤|x|＋b的点(x，y)的集合为B，其中a，b是正数，且A∩B≠∅.(1)a，b之间有什么关系？(2)求A∩B表示的图形的面积．当堂检测答案1．答案D解析将x＝0，y＝0代入验证得D符合题意．2．答案D解析特殊点(1,0)，验证即可．3．答案D解析用特殊点(0,0)验证即可．4．答案A解析符合条件的点P有(0,0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(3,0)共有10个．5．答案5x－2y＋10＜0解析易于看出直线的方程为y＝52x＋5，又(0,0)不在区域内且边界为虚线，故不等式为y＞52x＋5，即5x－2y＋10＜0.6．解不等式x0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)．不等式y0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x＋y－30表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含边界)．所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．课时精练答案一、选择题1．答案C解析经验证，P1，P3，P4均在区域内．2．答案B解析直线方程为x＋y－a＝0，因为(0,0)和(1,1)在直线两侧，则(0＋0－a)(1＋1－a)＜0，∴a(a－2)＜0，∴0＜a＜2.3．答案D解析由题可得a＞02a－1＞3a－6⇒0＜a＜5.4．答案A解析不等式组x≥0，y≥0，x－y≤－2，4x＋3y≤20所表示的区域如图所示：由x－y＝－24x＋3y＝20⇒x＝2，y＝4，直线2x＋y－10＝0经过(0,10)、(2,6)、(5,0)，故二者无公共点．5．答案D解析先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x＋y＝a在点A(1,0)的下方或在点B(23，23)的上方．当直线x＋y＝a过点A时，a＝1.当直线x＋y＝a过点B时，a＝43.又因为直线x＋y＝a必在原点O的上方，所以0＜a≤1或a≥43.6．答案B解析由题可得，v1＝300x，v2＝50y，∴30≤300x≤100，4≤50y≤20，9≤x＋y≤14，x，y≥0，即3≤x≤10，52≤y≤252，9≤x＋y≤14，x，y≥0，作图得B.7．答案D解析由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a＞－1.∵S△ABC＝2，∴12(1＋a)×1＝2，∴a＝3.二、填空题8．答案[－10,3]解析由题意得|2＋c|≤8|5＋c|≤8⇒－10≤c≤3.9．答案x－y≥0，x＋y－1≤0，y≥－1解析阴影部分边界的三条直线为x－y＝0，x＋y－1＝0，y＝－1，故阴影部分的不等式组为x－y≥0，x＋y－1≤0，y≥－1.10．答案32解析不等式组y≥x－1，y≤－3|x|＋1表示的平面区域如图，y＝x－1与y＝－3|x|＋1的交点为(12，－12)，(－1，－2)．∴S＝12×2×12＋12×2×1＝34×2＝32.三、解答题11．解如图所示，可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.∵△ABC区域在直线AB右上方，∴x＋2y－1≥0；在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0.∴△ABC区域可表示为x＋2y－1≥0，x－y＋2≥0，2x＋y－5≤0.12．解(1)由(x－y)(x－y－1)≤0，得x－y≥0，x－y－1≤0，解得0≤x－y≤1；或x－y≤0，x－y－1≥0，无解．故不等式表示的平面区域如图(1)所示．(2)由|3x＋4y－1|＜5，得－5＜3