必四1.2.2同角三角函数基本关系式

21.任意角的三角函数的定义§1.2.2同角三角函数的基本关系式复习与回顾:),,(,那么交点的终边与单位圆的是一个任意角设yxP___;cot)4(___;tan)3(___;cos)2(___;sin)1(yxyyxx叫余切函数，注意：yxcot3sincostancotRR},2|{ZkkR且},|{ZkkR且2.三角函数的定义域§1.2.2同角三角函数的基本关系式4xyosintancosxyoxyocot3.三角函数值的符号xyo全正sincottancos记忆:一全二正弦，三切四余弦§1.2.2同角三角函数的基本关系式506432232的弧度数角的度数角030456090180270360sincostancot010存在不21233332123333222211100存在不100存在不01存在不010存在不04.特殊角的三角函数值§1.2.2同角三角函数的基本关系式引例已知：sin0.8，填空：cos______哈哈~~~~~~~~我换了个马甲！小样！别以为你换了个马甲我就认不出你了！0.6±复习：三角函数的符号已知：sin0.8，填空：cos______±0.6xyOsin、csc上正下负＋＋xyOcos、sec右正左负＋＋xyOtan、cot奇正偶负－－－－＋－＋－已知：sin0.8，填空：cos______在初中，我们学过以下三个三角公式：22sincos1sintancostancot1在初中，公式中的角为锐角！对任意角这些公式是否成立？±0.6还需重新证明！9计算下列各式的值:.65cot65tan.4;45cot45tan.3;30cos30sin.2;90cos90sin.12222问题探究(一)§1.2.2同角三角函数的基本关系式?:有同样的结果吗会改为一般角如果把上面具体的数据问题1cossin22?可以证明吗?如何证明吗?是否可以是任意角吗角.1cottan称为平方关系称为倒数关系注:上面两种关系直接可以用三角函数定义得到.10问题探究(二)§1.2.2同角三角函数的基本关系式?tan,cos,sin:系三者之间是否有什么关函数的定义探索请同学们继续根据三角tancossinxy?,上式都成立呢是否可以是任意角时角.tancossin,)(2成立时当Zkktancossin称为商数关系sintancosyyrxxr　　平方关系和商数关系sin2cos2(sin)2(cos)2yrxr∵y2x2r2，∴sin2cos21R22rxyP(x，y)xyOrsincostanyrxryx；；；cotxy．12§1.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数基本关系式:1cossin22.1cottan称为平方关系称为倒数关系tancossin称为商数关系关于三种关系式1.“同角”的概念与角的表达形式无关.;13cos3sin:22如;12cot2tan.23tan23cos23sin2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立..,cottancossin.3知一求三关系式可以利用上三种基本的对于同一个角、、、同角三角函数的基本关系式平方关系：22sincos1，sintancos，tancot1，商数关系：倒数关系：学习数学公式需要做好哪几件事？第一件事：记住它！学习数学公式需要做好哪几件事？记住它！（通过分析式子的结构来记忆）明确公式成立的条件（何时“不必疑”？）公式成立的条件平方关系：22sincos1，sintancos，tancot1，商数关系：倒数关系：R(Z)2kk(Z)2kk两边都有意义约定：（详见课本第24页倒数第5行）学习数学公式需要做好哪几件事？记住它！（通过分析式子的结构来记忆）明确公式成立的条件（何时“不必疑”？）熟悉公式的变形（换马甲）游戏：判断对错1234562cos1sin±sincostancoscotsin221tan+1cossin2cos2122sin27+cos631cos(30)sin(30)cot(30)xxx27学习数学公式需要做好哪几件事？记住它！（通过分析式子的结构来记忆）明确公式成立的条件（何时“不必疑”？）熟悉公式的变形（换马甲）熟悉公式的一些典型应用熟悉应用公式时的易错点公式运用三类题型已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。第一类题型公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。sincostan例题（一）例1已知：sin0.8，且为第三象限角，求：cos，tan，cot的值.解：∵为第三象限角，∴cos0，于是2cos1sin0.6从而sin4tancos313cottan422§1.2.2同角三角函数的基本关系式例题讲解36.sin,cos,tan.5例已知求的值2:0,sin1,13161sin15251640,255sin353tancos54443,tan.542222解sin是第三象限或第四象限的角.由sincos得cos如果是第三象限的角,那么cos于是cos如果是第四象限的角那么cos23§1.2.2同角三角函数的基本关系式81.cos,sin,tan,.17已知求的值..,1cos0cos求得的结果有两组是第二或第三象限角且.815tan;1715sin,是第二象限角时如果.815tan;1715sin,是第三象限角时如果基础训练24§4.4同角三角函数的基本关系式(1)从解题的过程中发现:基本关系式的等价形式.sin1coscos1sin1cossin222222或等价变形为如把.tancossintancossin变形为把.cot1tan1cottan等变形为把25sintancos公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。sincostan22sincos126解：∵cosm(0，1]，∴为第一、四象限角,当为第一象限角时，sin0，于是例题（二）例2已知：cosm，且m(0，1]，求tan．22sin1cos1m从而2sin1tancosmm当为第四象限角时，同理可得：21tanmm不打草稿，你能否找出其中的错误？sintancos公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。sincostan22sincos1??例题（二）例3已知：tan≠0，用tan表示sin.解：sinsin1错在哪里？22sinsincos2tantan122222sintansincoscostan1sinsincos1coscos正难则反！29练习已知：tan2，填空：（1）（2）（3）sincos________sin3cos227sin________23cos分子分母同除以cos22sin22cos2－333sin________sin3cos4sinsin(sin2cos2)230公式运用三类题型三角函数式的化简第二类题型31一、化简所谓化简，就是使表达式经过某种变形(如切化弦)，使结果尽可能的简单，能求值的一定要求值。32例4：化简1tancossin解：原式=coscoscossincossin1cossincossin33练习：)sin1)(sin1(化简，⑴⑵22cos)tan1(34例5：440sin12化简解：原式=()80cos80cos80cos80sin180360sin122235练习：化简⑴⑵500cos122sin1公式运用三类题型三角恒等式的证明第二类题型37三角恒等式的证明:从一边证到另一边:有繁到简作差:从两边证都等于同一值38)(cossin1sin1cos:7三角恒等式的证明求证例2sin1)sin1(cos)sin1)(sin1()sin1(cos:0sin11sin0cos1左边于是，，所以，知：由证明右边cossin1cos)sin1(cos222(1sin)(1sin)1sin方法：2coscoscos1sin0,cos0,cos1sin.1sincos且所以:§1.2.2同角三角函数的基本关系式39能力训练224.:sintancoscot2sincostancot推倒出成立cossin1cossin)cos(sincossincossin2cossincossin2sincoscoscossinsin:222224422左边证明cossin1cossincossinsincoscossin22右边所以，原式成立.§1.2.2同角三角函数的基本关系式40例6：证明1sin2cossin)1(2442222sintansintan)2(cossin1sin1cos)3(41证法一：因为cossin1sin1cos0cos)sin1(coscoscos)sin1()sin1(coscossin1sin1cos222所以42证法二：因为22cossin1)sin1)(sin1(cossin1sin1cos,0cos,0sin-1所以由原题可知43证法三：右边原式左边cossin1cos)sin1(cossin1)sin1(coscos)sin1(cossin1cos0sin1,0cos22244小结证明恒等式的过程实质上就是分析、转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：.,,,)1(简的原则证明时一般遵循由繁到它等于另一边证明从等式的一边开始依据相等关系的传递性.,)2(于同一个式子右两边等证明左等于同量的两个量相等依据、.,,,,:.,,::..)3(成立知可成立因为只要证要证分析法成立知由此可等价与再证成立先证综合法的方法这种方法对应着两具体从而推出原式成立式子成立证明与原式等价的另一依据价转化思想badcdcbababadcdc45423sin,cos,,55tan.mmmm(1)已知是第四象限角求的值)(53cos,54sin,0是第四象限角不合与时当m.512tan,135cos,1312sin,8时当m思考题.80,,0)8(: