必修四平面向量数量积的物理背景及其含义(附答案)

平面向量数量积的物理背景及其含义[学习目标]1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一平面向量数量积的定义(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.知识点二向量数量积的几何意义1．投影的概念如图所示：OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．2．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．答案－12－1解析a在b方向上的投影|a|cosθ＝1×cos120°＝－12；b在a方向上的投影|b|cosθ＝2×cos120°＝－1.知识点三平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝π时，a·b＝－|a||b|；当〈a，b〉＝π2时，a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2；(3)cosθ＝a·b|a||b|；(4)|a·b|≤|a||b|.(5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(7)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.知识点四向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考某同学由实数乘法的三条性质：①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a＝c；③(ab)c＝a(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)，这三条结论成立吗？请简要说明．答案①不成立，因为任意垂直的两向量a与b都有a·b＝0.②不成立，如图所示.虽然a·b＝b·c，但a≠c.③不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．题型一求两向量的数量积例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×32＝103.跟踪训练1已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．解(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72＝－268.题型二求向量的模例2已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×12＝252.|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2×252＋25＝53.|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝25－2×252＋25＝5.跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.解由已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝23.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.题型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×12＝12.|a|＝|2m＋n|＝2m＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b|＝|2n－3m|＝2n－3m2＝4×1＋9×1－12m·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a与b的夹角为2π3.跟踪训练3已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？解要想(ka－b)⊥(a＋2b)，则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，∴52k＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，解得k＝1415，即当k＝1415时，向量ka－b与a＋2b垂直．平面向量数量积分配律的证明例4下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的投影|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0；向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．两边乘以|c|得：|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a＋b在向量c方向上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；向量a在向量c方向上的投影为图(2)|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴OC1＝OA1＋OB1，∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉．两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.图(3)1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a||b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a||b|2．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是()A．60°B．30°C．135°D．45°3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.4．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.⑤若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b.其中正确结论的序号是________．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－12．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.32B．－32C．±32D．13．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．22C．4D．84．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．[0，π6]B．[π3，π]C．[π3，23π]D．[π6，π]5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12二、填空题7．已知向量a在向量b方向上的投影是23，|b|＝3，则a·b的值为________．8．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．当堂检测答案1．答案B解析因为|a·b|＝||a|·|b|cosθ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cosθ|，当且仅当θ＝0或π时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．2．答案C解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－11×2＝－22.又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝135°.3．答案12解析a·a＋a·b＝12＋1×1×cos120°＝12.4．答案④⑤解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.⑤正确，|a＋b|＝|a－b|⇒(a＋b)2＝(a－b)2⇒a·b＝0⇒a⊥b.课时精练答案一、选择题1.答案D解析a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.2．答案A解析∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.3．答案B解析|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝22.4．答案B解析因为Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b的夹角)若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.5．答案C解析由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，∴θ＝120°.6．答案C解析∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.二、填空题7．答案2解析a·b＝|a|·|b|cos〈a，