(完整版)二次函数综合题分类讨论带答案

二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：1、已知点A(1，0),B（-5,0），在直线221xy上存在点C，使得ABC为直角三角形，这样的C点你能找到个2、如图1，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相较于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1.（1）求P点坐标及a的值；（2）如图1，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3，C,3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C,3的解析式；（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C,4，抛物线C,4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标。（2013汇编P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（09成都28）已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO＝(3√(10)/10)．（1）求此抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?65432112345664224681012141618ANMBP二、等腰三角形分类讨论1、如图，已知Rt,30,90,BACACBABCRt在直线BC或直线AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有个2、①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数2yx的图象记为抛物线1l．（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过AB，两点，记为抛物线2l，如图②，求抛物线2l的函数表达式．（3）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点．若ABKABCSS△△，求点K的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点P，使ABP△为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21yx，2yxx，2(1)2yx或223yxx，2(21)yx，2(12)yx．（2）设抛物线2l的函数表达式为2yxbxc，点(12)A，，(31)B，在抛物线2l上，12931bcbc，解得9211.2bc，抛物线2l的函数表达式为291122yxx．（3）229119722416yxxx，C点的坐标为97416，．过ABC，，三点分别作x轴的垂线，垂足分别为DEF，，，则2AD，716CF，1BE，2DE，54DF，34FE．ABCADEBADFCCFEBSSSS△梯形梯形梯形．117517315(21)22122164216416．延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为ymxn，点(12)A，，(31)B，在直线AB上，213.mnmn，解得125.2mn，直线AB的函数表达式为1522yx．G点的坐标为502，．BOyx1l图①A11BOyx2l图②AC11BOyx2l图③A11BEFDOGKyx2lCA图②设K点坐标为(0)h，，分两种情况：若K点位于G点的上方，则52KGh．连结AKBK，．151553122222ABKBKGAKGSSShhh△△△．1516ABKABCSS△△，515216h，解得5516h．K点的坐标为55016，．若K点位于G点的下方，则52KGh．同理可得，2516h．K点的坐标为25016，．（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点P共有3个可能的位置．2、如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C（0,4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为3、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以O为坐标原点，以BD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在线段BD上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P的坐标为三、最值问题类型一：两点之间线段最短1、请写出42813222mm的最小值为2、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，对角线BD上任一点，将BM绕点B逆时针旋转60，得到BN，连EN、AM、CM，求证：（1）ENBAMB，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN最小值为13时，求正方形的边长（2012汇编P52+P137）xyEDCBAyxDOBCAPEBCADMNxOy2lBA图③3、（2010年天津25）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边OA的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求当E、F的坐标类型二垂线段最短1、已知对称轴为y轴的抛物线caxy2，与直线1l交于A（-4,3），B(2，0)两点，经过点C（0，-2）的直线2l与x轴平行，O为坐标原点。（1）求直线1l和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线2l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线1l上的点D的横坐标为-1，Pnm,是（1）中抛物线上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积。（2013汇编P36+P139）2、如图，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为OAQP类型三三角形两边之差小于第三边在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A,B的坐标分别为A（0,3）和B（5,0），连结AB;(1)现将AOB绕点O按逆时针方向旋转90，得到COD，（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相较于点F。P为平移后得到抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当PFPE取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使得EPF为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。（2012汇编P16+P125）汇编2013P96同类型类型四抛物线顶点的最值已知抛物线)0(2acbxaxy与x轴交于A（-6,0）、B（2,0），与y轴交于点C（0，-6）。（1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；（2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使MBC的周长最小，求点M的坐标；（3）在（2）的情况下，若点P(0，k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点D，连结MD、MP，设MPD的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？（2012汇编P8+P123）2013汇编P104+P169三、等积转化问题1、如图，是一个由弓形和三角形组成的组合图形，若取弧AB的中点M，弦AB的中点N，连接MN和NC，则折线MNC将此图形分为两部分，这两部分的面积是否相等？请你在图中画出一条直线，将这个组合图形分成面积相等的两部分，并说明这条直线的画法。NCMBA2、我们把能平分四边形面积的直线成为“等积线”，下面是平分四边形面积的方法之一，利用作图，可以得到四边形的“等积线”，如图，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA,OC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE||AC交CD于E，则直线AE即为一条“等积线”。（1）在图中，画出经过C点的四边形ABCD的“等积线”CK（2）如图，AE为四边形ABCD的一条“等积线”，F为AD边上的一点，请画出经过F点的四边形ABCD的“等积线”，并写出画图步骤EEODACBDACBF3、已知：如图，抛物线)0(22acaxaxy与y轴交于点C(0,4)，于x轴交于点A,B，点A的坐标为（4,0）（1）求抛物线的解析式（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE||AC,交BC于点E，连接CQ，当三角形CQE的面积为3时，求Q的坐标（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线l，使得三角形ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。xyDEBACOQ4、如图，已知关于x的二次函数)0(2ccbxxy的图形与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且OB=OC=3,顶点为M，（1）求出二次函数的关系式（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，若OD=m，三角形PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围。（3）探索线段MB上是否存在点P，使得三角形PCD为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。xyDMBCAOP5、将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A,C，及点B（-3,0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当三角形APE的面积最大时，求点P的坐标（3）若点P（t,t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线472xy上，求此时抛物线的解析式。xyCABO6、已知抛物线cbxaxy2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OBOC）是方程016102xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2（1）求A,B,C三点的坐标（2）求次抛物线的表达式（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A,点B不重合），过点E作EF||AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，三角形CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围，在此基础上试说明S是否存在最大值，若存在，是判断此时三角形BCE的形状，若不存在，请说明理由。