2.2-平面向量的线性运算

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及几何意义2.2.2向量减法运算及几何意义2.2.3向量数乘运算及几何意义台北香港上海从运动的合成看向量运算在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABC位移ABBCAC+=F1+F2=F从力的合成看向量运算橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？FEOOEFF是以F1与F2为邻边所形成的平行四边形的对角线ABC一、向量的加法运算运动的合成力的合成ABBCAC+=F1F2FF1+F2=F数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则ab力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型baba求作向量已知向量,,baACbBCaABA则向量作在平面内任取一点作法：,..211.向量加法法则CA·Babbao·ABCabba位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量作在平面内任取一点作法：,..212.向量加法法则总结与拓展向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们首尾相连2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到同一起点2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线三角形法则推广为多边形法则：多个向量相加，如：ABBCCDDEEFAF，这时也必须“首尾相连”.3.当向量共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABCACab=+aaa00规定：4.向量的加法具备交换律和结合律。数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()abcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.练习：化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA(3)_____ABBDCADC.,)()(,,)(;)()(._________,的方向相同与则反向，且，若向量相等；与均为非零向量，则，若；为一个三角形的三顶点，则若中，必有△之一的方向相同；，必和的方向么的方向相同或相反，那与若非零向量正确的个数有下列命题中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa54030211个1.相反向量类比实数的相反数的概念，定义相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a;-a与a互为相反向量规定：零向量的相反向量仍是零向量所以:1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；3、a=-b，b=-a，a+b=0向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量二、向量的减法运算2.向量减法法则要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.abb)(babaabABOababbaabABOab.,,,baBAbOBaOAO则作点作法：在平面内任取一3.当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向bababababa4.探究：向量的三角形不等式的大小关系如何？、与问题一：babababababa号何时成立？问题二：上述不等式等，是否有类似的结论？问题三：对于实数ba,注意：向量加减法与平行四边形形状？互相垂直？与满足什么条件时，有当非零不共线向量bababababa)()(,21菱形ba矩形ba5.用向量表示平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaACOMBOMBABBDACCDABDCADABcbacbacbacbacACbBCaABABCDcbacbacba)()(;)(.)()(,,,.,,,.321321121化简：，并计算求作向量，并计算求作向量，设边长为正方形和作出向量随意画三个互不共线的练习：aaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3记作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与义吗？你能说明它们的几何意和作出已知非零向量),()()(,aaaaaaa三、向量的数乘运算1.向量的数乘运算的定义.)(;)(.000021aaaaaaaaa时，当的方向相反；的方向与时，当的方向相同；的方向与时，当如下：，它的长度和方向规定记作运算叫向量的数乘的积是一个向量，这种与向量实数.)()(的方向量的符号表示是否改变向伸长或缩短；的长度可视为将向量几何意义：aaa212.数乘向量运算律向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算..)()(;))((;)()()(babaaaaaa321是实数，，bababa212121),,,（恒有，，以及任意实数对于任意向量第一分配律第二分配律数乘结合律1.如何证明？2.如何解释运算律的几何意义，尤其是(3)？.)()(;)(;,,)(,,)(,,,)()()(_______.)(,)()()(._____,,.aaaanmanamanmbabmambambabababaaababaabbaaaaaba765403002001203252525211则，若和向量对于实数；则，若和向量对于实数同向；与则满足若非零向量；，则若；，则若下列说法正确的个数是不共线；与不共线，则若）是一对相反向量；（与；的模的的模是的方向相反，且的方向与下列说法正确的有是两个非零向量已知(1)1个（7）正确补充：共线定理定理的应用：证明三点共线:证明向量共线证明两直线平行:?abbabaabba实数，使得个共线，那么是否存在一和：如果向量问题是否共线？和，那么向量：如果问题，以及实数和对于向量21abRbaaabbaa，使得存在唯一即，使得一个实数共线，当且仅当有唯一与向量//)()(00三点共线CBABCAB,,CDABCDABCDABCDAB//,//不在同一条直线上.),(OCOBOARtABtACOBOA表示和试用不共线，和问题：已知吗？时，你知道其几何意义当特例：对于211tOBtOAtOC,)(2OBOAOCABC中点，则为中点公式向量表示法：的值有什么关系？三点共线与一般地：对于,,,,CBAOBOAOCOBOAOCCBA使得，，且存在实数三点共线1,,,？在三角形内的什么位置，则内一点，若是△是不共线的三点，问题：GGCGBGAABCGCBA0,,)(内在△重心是△ABCGGCGBGAABCG0OCOBOAOGGOABCG31则的任意一点，为平面内不同于重心是△,有什么关系？与的重心，则为△中点，则为线段类比：OCOBOAOGABCGOBOAOCABC,,2练习：证明几何问题.,][.,,,,..,,,,,,][..BABEEBAODBCBDOACBNAMENBENBECDDMMCDACABABCEDEFGHCDACABBDHGFEABCD413121求证：相交于与，中，平行四边形类似题三点共线，求证：使至，延长使至的中点，延长的边为△已知为平行四边形的中点，求证：四边形分别为为一个四边形，类似题等于第三边的一半三边且边中点的连线平行于第用向量证明：三角形两