特殊平行四边形难题综合训练及解析

-1-特殊平行四边形综合训练1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．162、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为.第1题第2题第3题第4题3、如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是平方单位．4、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是.5、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为.6、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2B．3C．22D．32第5题第6题第7题第8题7、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2）B、（2,2）C、（3,3）D、（2,2）-2-8、如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=20A；（4）AE2+CF2=20P•OB．正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．410、如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为.11、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．(1)如图11－1，当点M在AB边上时，连接BN．求证：ABNADN△≌△；(2)如图11－2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．CMBNAD（图11-2）CBMAND（图11-1）-3-12、如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BEDG，．(1）求证：BEDG．(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．13、请阅读，完成证明和填空．数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：(1）如图13-1，正三角形ABC中，在ABAC、边上分别取点MN、，使BMAN，连接BNCM、，发现BNCM，且60NOC°．请证明：60NOC°．(2）如图13-2，正方形ABCD中，在ABBC、边上分别取点MN、，使AMBN，连接ANDM、，那么AN，且DON度．(3）如图13-3，正五边形ABCDE中，在ABBC、边上分别取点MN、，使AMBN，连接ANEM、，那么AN，且EON度．(4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：．EFGDABCAAABBBCCCDDOOOMMMNNNE图13-1图13-2图13-3…-4-14、ABC△是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合），ADE△是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC、于点FG、，连接BE．(1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：AEBADC△≌△；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？(3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．15、如图，ABC△中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC∥，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．(1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3）当点O运动到何处，且ABC△满足什么条件时，四边形AECF是正方形？AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）AFNDCBMEO-5-16、如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12，、分别交x轴于AB、两点．矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合．(1）求ABC△的面积；(2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；17、在ABC△中，2120ABBCABC，°，将ABC△绕点B顺时针旋转角(0°90)°得ABCAB111△，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点．(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2）如图2，当30°时，试判断四边形1BCDA的形状，并说明理由ADBEOCFxyy1ly2l（G）ADBECF1A1CADBECF1A1C-6-18、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，56ABAC，．过点D作DEAC∥交BC的延长线于点E．(1）求BDE△的周长；(2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BPDQ．19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．(1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；(2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．AQDEBPCOxOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF-7-20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形（非正方形）．(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求xy的值．21、如图所示，在矩形ABCD中，1220ABAC，，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形1OBBC；对角线相交于点1A；再以11AB、1AC为邻边作第2个平行四边形111ABCC，对角线相交于点1O；再以11OB、11OC为邻边作第3个平行四边形1121OBBC……依次类推．(1）求矩形ABCD的面积；(2）求第1个平行四边形11OBBC、第2个平行四边形111ABCC和第6个平行四边形的面积．A1A2B2C2C1B1O1DABCO-8-22、如图（22），直线l的解析式为4yx，它与x轴、y轴分别相交于AB、两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于MN、两点，设运动时间为t秒（04t≤）．(1）求AB、两点的坐标；(2）用含t的代数式表示MON△的面积1S；(3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN△和OAB△重合部分的面积为2S，①当2t≤4时，试探究2S与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，2S为OAB△面积的516？OMAPNylmxBOMAPNylmxBEPF图22-9-23、如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3-10-25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DEAG⊥于E，BFDE∥，交AG于F．求证：AFBFEF．DCBAEFG-11-参考答案1、D2、1043、5或94、20100523555、156、C7、A8、B9、C10、5811、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠1=∠2又∵AN=AN∴△ABN≌△ADN(2）解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45°．下面分三种情形：Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=62，∴CM=CN=AC－AN=62－6，故x=12－CM=12－（62－6）=18－62综上所述：当x=6或12或18－62时，△ADN是等腰三角形12、（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。又因为ECGF是正方形，所以EC=CG。所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。所以BE=DG（全等三角形的对应边相等）（2）存在。以点C为旋转中心逆时针旋转90度13、（1）证明：∵ABC△是正三角形，∴60AABCABBC°，，在ABN△和BCM△中，ABBCAABCANBM∴ABNBCM△≌△．∴ABNBCM．又∵60ABNOBC°，∴60BCMOBC°，∴60NOC°．注：学生可以有其它正确的等价证明．(2）在正方形中，90ANDMDON，°．(3）在正五边形中，108ANEMEON，°．(4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角(2)180nn°14、（1）①证明：∵ABC△和ADE△都是等边三角形，∴60AEADABACEADBAC，，°．又∵EABEADBAD，DACBACBAD，∴EABDAC，∴AEBADC△≌△．②法一：由①得AEBADC△≌△，∴60ABEC°．又∵60BACC°，CMBNAD1234-12-∴ABEBAC，∴EBGC∥．又∵EGBC∥，∴四边形BCGE是平行四边形．法二：证出AEGADB△≌△，得EGABBC．由①得AE