(新)初一几何——三角形的边角关系(一)

泛美国际学校数学培优竞赛教学案泛美国际学校数学教研室数学的学习可以让我们理性面对生活，可以让我们学会坚持和变得坚强。——吴老师第1页共2页初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】1．根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。2．充分利用三角形三边关系解决相关问题。3．学会并掌握双垂直图形。【知识库】1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC中，a+bc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到：ac－b，ba－c，cb－a即有：三角形的两边之差小于第三边2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）变式：想一想，如果当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。【题型精讲】重难点一：三角形的面积。例一：如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．若AC=8，BC=6，AB=10，则CD的长为．例二：如图，等腰三角形ABC中，两腰AB=AC，点P在底边BC上任意一点，求证：点P到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。（要求画出草图再求证）拓展延伸：已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：（1）若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a-1，4，那么a的取值范围是()A.1a5B.2a6C.3a7D.4a6例四：已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，确定b的取值范围。例五：已知：△ABC中，AD是BC边上的中线。求证：AD+BD12(AB+AC)练习：1、已知a、b、c是ΔABC的三边长，化简|a+b-c|-|a-b-c|2、已知三角形的三边长a、b、c都是整数，且a≤b＜c，b=7，则这样的三角形有多少个？3、已知O是△ABC中任意一点，求证：12(AB+AC+BC)＜OA+OB+OCBACPOBAC泛美国际学校数学培优竞赛教学案泛美国际学校数学教研室数学的学习可以让我们理性面对生活，可以让我们学会坚持和变得坚强。——吴老师第2页共2页拓展训练：1、不等边ΔABC的两条高分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。2、如图的△ABC中，D、E为三角形内任意两点，连接BD，AE，证明：EADEBDCABC＞3、如图、已知直线a和直线外同侧两点M、N。请在直线a上找一点P，使∣PM-PN∣的值最大，并简要说明理由。重难点三：三角形的角度计算（建立方程）例六：已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．例七：锐角三角形中，∠A=2∠B，求∠B的取值范围。例八：已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝___________练习：如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠CAE，∠DAE=31∠BAC，求∠BAC的度数。拓展训练：1、（江苏省竞赛题）△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数。★2、△ABC三个内角∠A，∠B，∠C满足以下条件：3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B.（1）试找出两组符合条件的∠A，∠B，∠C的度数；（2）满足条件的三角形是什么三角形？说明理由。重难点四：基本图形五（双垂直图形）该图形中有哪些相等的角？例九：如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C相等的角的个数是（）A．5B．4C．3D．2例十：如图在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB，∠HCD=20°，则∠B=_______.练习：如图，三角形ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数。拓展延伸：小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F。FEDACBMEFDACBM图①图②图③（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是______________;（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是______________;（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是______________;请你完成（1）（2）（3）三个命题，并从中任选一个进行证明。DHBCABDAECCEDaMNFEDACBM