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ababccABCDEPHGFEDCBAabcabcabcabc.RT△ABC证明过程【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即abcabba214214222，整理得222cba【证法2】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于2ab.∴22214cabab∴222cba.babababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEH【证法.3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2（a+b）.∴1/2（a+b）²=2*1/2ab+c²∴a²+b²=c²【证法5】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a+b）²=a²+b²+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为22214cabba=22cab.∴22222cababba,∴222cba.【证法4】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a²+b²=S+2*1/2ab，c²=S+2*1/2ab∴a²+b²=c²ab21ab21ab21ab212c2b2aAADDBBCCbababababaccccbaababbaba勾股定理历史上关于勾股定理的事情《周髀算经》的开头，记载着一段对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。”所以又被称为商高定理。希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。传说中为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。《周髀》上还说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也”。意思是大禹除了把勾股定理应用于治水工程中，还把其中的原理延伸至国家建章立制的政治高度。勾股定理在生活里的应用家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间距离是否是50cm如果超出一定误差,则说明墙角不是直角.比如A点有一高杆在其附近B点要把从杆顶引下来的绳固定在此点就可以算出绳子的长度要求了在做木工活时,要是有大块的板材要定直角,就用勾股定理.角尺太小,在大板上画的直角误差大.在做焊工活时,做大的框架,有一定要直角的也是用勾股定理.比如说我要一个直角,就取一个直角边3米,一个直角边4米,让斜边有5米,那这个角就是直角了.比如已知两个螺丝之间的位置,我们便可以用勾股定理求出两个螺丝之间的距离.