空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB.2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，0AB.模为1的向量称为单位向量.3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a.4.空间向量的加法和减法运算（1）OCOAOBab，BAOAOBab.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律abba，abcabc二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算.当0时，a与向量a方向相同；当0时，向量a与向量a方向相反.a的长度是a的长度的倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律abab，aa.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作//ab.4.共线向量定理对空间中任意两个向量a，b0b，//ab的充要条件是存在实数，使ab.5.直线的方向向量如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线.对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取ABa，则式①可化为1OPOAtABOAtOBOAtOAtOB②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t，即点P是线段AB的中点时，12OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式.6.共面向量如图8-154所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平面内，则说明向量a平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,xy，使pxayb.推论：（1）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,xy，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表达式.（2）已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的点P与点A，B，C共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,ab，通常规定0,ab，如果,2ab，那么向量a，b互相垂直，记作ab.2.数量积定义Aaa图8-154O已知两个非零向量a，b，则cos,abab叫做a，b的数量积，记作ab，即cos,ababab.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aaa.3.空间向量的数量积满足的运算律：abab，abba（交换律）；abcabac（分配律）.四、空间向量的坐标运算及应用（1）设123,,aaaa，123,,bbbb，则112233,,abababab；112233,,abababab；123,,aaaa；112233abababab；112233//0,,abbababab；1122330abababab.（2）设111,,Axyz，222,,Bxyz，则212121,,ABOBOAxxyyzz.这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知123,,aaaa，123,,bbbb，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；112233abababab；112233222222123123cos,ababababaaabbb；②已知111,,Axyz，222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz,或者,dABAB.其中,dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a在向量b上的射影为cos,abaabb.（5）设0nn是平面M的一个法向量，AB，CD是M内的两条相交直线，则0nAB，由此可求出一个法向量n（向量AB及CD已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n是平面的一个法向量，l为直线l的方向向量，证明0ln，（如图8-155所示）.已知直线l（l），平面的法向量n，若0ln，则//l.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a，b，只要证明ab，即0ab.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,ababab.②线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,ananan.③二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnnn.（11）点A到平面的距离为d，B，n为平面的法向量，则ABndn.题型归纳及思路提示题型1空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41如图8-156所示，已知空间四边形OABC，点,MN分别为OA，BC的中点，且OAa，OBb，nl图8-155OCc，用a，b，c表示MN，则MN.解析1122OMOAa，1122ONOBOCbc，111222MNONOMbcabca.变式1如图8-157所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M和N分别是对边OA和BC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN，现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OGxOAyOBzOC，则,,xyz的值分别是（）.A111,,333xyz.B111,,336xyz.C111,,363xyz.D111,,633xyz变式2如图8-158所示，在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE（用a，b，c表示）.变式3在空间四边形ABCD中，连接对角线,ACBD，若BCD是正三角形，且E为其重心，则1322ABBCDEAD的化简结果为.变式4如图8-159所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）.A1122abc.B1122abc.C1122abc.D1122abc二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：//0abbab.利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42已知3240mabc，182nxabyc，且,,abc不共面，若//mn，求,xy的值.解析因为//mn且0m，所以nm，即182324xabycabc.又因为,,abc不共面，所以138224xy，解得138xy.二、空间向量的数量积运算121212cos,abababxxyyzz；求模长时，可根据2222111aaxyz；求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos,ababab.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0abab.,ab为锐角0ab；,ab为钝角0ab.由此，通常通过计算ab的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点,EF分别是,BCAD的中点，AEAF的值为（）..A2a.B21.2Ba21.4Ca23.4Da解析依题意，点,EF分别是,BCAD的中点，如图8-160所示，AEAF1122ABACAD14ABADACAD22211cos60cos6044aaa.故选C.变式1如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCDABCD中，1160AADAABDAB，且11AAABAD，则1AC.变式2如图8-162所示，设,,,ABCD是空间不共面的4个点，且满足0ABAC，0ADAC，0ADAB，则BCD的形状是（）..A钝角三角形.B直角三角形.C锐角三角形.D无法确定例8.44如图8-163所示，在45的二面角l的棱上有两点,AB，点,CD分别在,内，且ACAB，45ABD，1ACBDAB，则CD的长度为.分析求CD的长度转化为求空间向量CD的模.解析因为CDCAABBD，故22CDCAABBD222222CAABBDCAABABBDCABD1110211cos1352CABD，设点C在内的射影为H，则HAAB，,135HABD.故CABDCHHABDCHBDHABD10cos1351cos45cos1352HABD.故222CD，则22CD.变式1已知二面角l为60，动点,PQ分别在面,内，P到的距离为3，Q到的距离为23，则,PQ两点之间距离的最小值为（）..2A.2B.23C.4D变式2在直角坐标系中，设3,2A，2,3B，沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，AB的长为（）..6A.42B.23C.211D例8.45如图8-164所示，设动点P在棱长为1的正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上，记11DPDB.当APC为钝角时，求的取值范围.解析由题设可知，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系Dxyz，则有1,0,0A，1,1,0B，0,1,0C，10,0,1D.由11,1,1DB，11,,DPDB，111,0,1,,1,,1PADADP，110,1,1,,,1,1PCDCDP.显然APC不是平角，所以APC为钝角，coscos,0PAPCAPCPAPCPAPC，等价于0PAPC，即21110，得113.因此，的取值范围是1,13.评析利用向量知识将APC为钝角转化为cos,0PAPC求解是本题的关键.变式1已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点P在线段1BD上，当APC最大时，三棱锥PABC的体