七年级数学有理数(学生讲义)

第1页第一章有理数知识网络结构图第2页知识点1：有理数的基本概念中考要求：有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点总结：正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C和零下4C等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1、3.12、175、2008等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3表示是同一个正数.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数.()正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.板块一、基本概念例题讲解第3页1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（）①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.A.0B.1C.2D.32、下面关于有理数的说法正确的是（）．A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类.B.正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C.整数和分数统称为有理数D.正数、负数和零的统称为有理数板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值3、a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：①224ab的相反数是224ab；②ab的相反数是a的相反数与b的相反数的差；③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是()A、正有理数B、负有理数C、零D、不可能5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________；6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个，非负数有______个；7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______；绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值一定是________数。8、-2.5的相反数是________，绝对值是________，倒数是________。9、平方是它本身的数是；倒数是它本身的数是；相反数是它本身的数是；立方是它本身的数是。绝对值小于4的所有整数的和是________；绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是________。10、在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为知识点2：比较大小比较大小的主要方法：①代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．②数轴法：数轴右边的数比左边的数大．③作差法：0abab，0abab，0abab．④作商法：若0a，0b，1aabb，1aabb，1aabb．⑤取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．板块一、数轴法【例1】a、b为有理数，在数轴上如图所示，则（）第4页a01bA.111abB.111abC.111baD.111ba【例2】数abcd，，，所对应的点ABCD，，，在数轴上的位置如图所示，那么ac与bd的大小关系0DCBA【例3】若有理数ab，在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（）A．2abB．11baC．12abD．1bax1a0.50-1-1.5b-2【例4】在数轴上画出表示12.540252，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“”；连接起来【例5】实数ab，在数轴上的对应点如图，试比较aabbabab，，，，，的大小0ba板块二、代数法【例6】比较大小：1223【例7】把四个数..2.3712.37%2.37，，和2.37用“＜”号连接起来【例8】比较23，58，1523，1017，1219的大小．【例9】已知01x，则2x，x，1x的大小关系是什么？第5页【例10】若1am，则21mmm，，的大小关系【例11】如果10a，请用“”将a，a，2a，2a，1a，1a连接起来.【例12】若20072008a，20082009b，试不用．．将分数化小数的方法比较a，b的大小．知识点3：运算及运算法则有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.abba(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()abcabc(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()abab有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.第6页注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.abba(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.()abcabc(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.()abcabac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1abab，(0b)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.例题讲解板块一、有理数的加减运算1、下列各组数中，数值相等的是（）A、－（－2）和+（－2）；B、－22和（－2）2；C、－32和（－3）2；D、—23和（－2）2、两数相加，其和小于每一个加数，那么（）.A、这两个数相加一定有一个为零.B、这两个加数一定都是负数.C、这两个加数的符号一定相同.D、这两个加数一正一负且负数的绝对值大3、计算：⑴21(4)(3)33⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55第7页⑶17(14)(5)(1.25)88⑷111(8.5)3(6)11332⑸5317(9)15(3)(22.5)(15)124412⑹434(18)(53)(53.6)(18)(100)555⑺1132|1()|3553⑻4.7(3.3)(5.6)(2.1)⑼1111(3)[(3)3](3)4444板块二、有理数的乘除运算1、奇数个负数相乘，积的符号为，个负数相乘，积的符号为正.2、计算下列各题：⑴30.250.57045；⑵110.0333323第8页⑶735(1)(36)1246⑷111(0.25)(5)(3.5)()2244⑸114()1()16845⑹11171113()71113⑺11111(1)(1)(1)(1)(1)49162525003、计算⑴111321335；⑵112103523⑶231(4)()324；⑷71()2(3)93⑸11111()()234560；⑹44192()77知识点四、字母相关的运算1、若2,3ba，则ba________。2、若,3,4,nmmnnm则nm________。3、若92x，则x得值是；若83a，则a得值是.第9页4、61x的最小值是，此时2009x=。5、若a,b互为相反数，c,d互为倒数，且0a，则200920082007)()()(bacdba.6、已知|a|=5,|b|=2,ab0.求：3a+2b的值7、x=2008-时，求代数式22xxxx+-¸的值。8、已知mn，互为相反数，ab，互为负倒数，x的绝对值等于3，求20033220011xmnabxmnxab的值9、设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1aba，，的形式，又可分别表示为0bba，，的形式，则20042001ab10、已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于它相反数的2倍.求3xabcdxabcd的值.11、如果0xy,则xxyxxy+的结果是()A、0B、2C、21D、212、若│χ∣=5，y2=4,且xy＜0，则x+y=;13、若a,b互为倒数，m,n互为相反数，则()22mnab++=；14、若()2320,xy++-=则()2005xy+=；15、利用数轴求13xx-+-的最小值，求44aa-++的最小值16、（1）已知()2320,ab+