立体几何中最值问题

立体几何中最值问题求解策略立体几何中最值问题令许多学生无从下手，本文试做一归纳总结，供同学们复习时参考。策略一转化为求函数最值例1已知正方形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，AB=2,M为线段AC上一动点，当M在什么位置时，M到直线BF的距离最短？分析：本题是求点到线距离最值问题，实际上就是求异面直线AC、BF间距离。可用代数中求最值的方法来解决。解：作MHAB于H,作HNBF于N,易知MH平面ABEF.由三垂线定理可知，MNBF.设AM=x,则MH=AH=22x,BH=222x,HN=22HB=112x则MN2=MH2+HN2=2211(1)22xx=2322()433x所以当AM=23时，MN有最小值63。策略二借助均值不等式求最值例2求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。解：如右图所示，设正三棱锥高1OA=h,底面边长为a由正三棱锥性质可知1OB=33a，又知OA=OB=R则在RtABC中，2223()()3aRhR23(2)ahRhV=22133(2)344ahhRh3(2)22hhRh322233hhRh=38327R(当且仅当22hRh，即43hR时，取等号)正三棱锥体积最大值为38327RCDEAFBMNHDAOBCO1策略三借助最小角定理建立不等关系例3l是直二面角，,,ABA，B不在l上，设AB与,成的角分别是12,，求12的最大值。解析：如图所示，过A作L垂线，垂足为C,易知AC过B作L垂线，垂足为D,易知BD.所以2,ABC1BAD，在RtABD中，122ABDDAB由最小角定理可知2122BAD，所以122。当D、C重合时，122。所以最大值为2。策略四借助侧面展开图求最短路径例4长方体1111ABCDABCD中，AB=6,BC=5,14,CC一只蚂蚁从1A出发，沿长方体表面到达C处，求蚂蚁爬过的最短距离。解：如左图所示,蚂蚁爬过的路径有三种，可由侧面展开的结果比较而求得最值。1.2211()ACAAABBC、=22(64)5125(122211()ACABBCAA=22(65)413723222211()(45)6117ACAAADDC显然第3种距离最短。3策略五利用极限思想例51三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0，若PBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC的对角线长度为3LABCDCD1A1B1ABDC1ACBPOA1C1ACB1BA1BD1CADA1B1DCAB第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重合时，侧棱取最小极限值33，PO无穷大时，侧棱也无穷大。可知两题所问均无最值。